Viètovy vzorce: Porovnání verzí

← Přejít na předchozí porovnání Přejít na další porovnání →

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verze z 21. 5. 2021, 22:48

Viètovy vzorce, pojmenované po François Viètovi, jsou obecným návodem, který umožňuje hledání kořenů polynomů.

Obecný zápis

Každý polynom n-tého stupně (pro n≥1) $p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\,$ s koeficienty $a_{n},a_{n-1},\cdots ,a_{1},a_{0}$ náležejícími $\mathbb {R}$ či $\mathbb {C}$ , kde a_n≠ 0, má dle základní věty algebry nejvýše n komplexních kořenů x₁, x₂, ..., x_n. Viètovy vzorce potom předepisují n rovnic, které vedou k nalezení n kořenů:

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}={\tfrac {-a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad \vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}

Výrazy vlevo jsou tzv. elementární symetrické mnohočleny n proměnných.

Příklad

Polynom druhého stupně je obecně řešitelný pomocí hledání diskriminantu, pro příklad však uveďme také řešení pomocí Viètových vzorců.

Mějme polynom:

p(x)=ax^{2}+bx+c

, s kořeny

x_{1},x_{2}

, kde

p(x)=0

. Potom můžeme psát:

x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}

Pro polynom třetího stupně tedy můžeme analogicky psát.

Mějme polynom:

q(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d

, s kořeny

x_{1},x_{2},x_{3}

, kde

q(x)=0

. Potom:

x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}},\quad x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Viète's formulas na anglické Wikipedii.

@@ Řádek 2: / Řádek 2: @@
 ==Obecný zápis==
-Každý polynom n-tého stupně (pro ''n''≥1)  <math>p(x)=a_nx^n  + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0 \, </math> s koeficienty <math>a_n, a_{n-1}, \cdots ,a_1,a_0</math> náležejícími <math> \mathbb{R}</math> či <math> \mathbb{C} </math>, kde ''a''<sub>n</sub>≠ 0, má dle [[základní věta algebry|základní věty algebry]] nejvýše ''n'' komplexních kořenů  ''x''<sub>1</sub>,&nbsp;''x''<sub>2</sub>,&nbsp;...,&nbsp;''x''<sub>''n''</sub>. Viètovy vzorce potom  předepisují ''n'' rovnic, které vedou k řešení ''n'' kořenů:
+Každý polynom n-tého stupně (pro ''n''≥1)  <math>p(x)=a_nx^n  + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0 \, </math> s koeficienty <math>a_n, a_{n-1}, \cdots ,a_1,a_0</math> náležejícími <math> \mathbb{R}</math> či <math> \mathbb{C} </math>, kde ''a''<sub>n</sub>≠ 0, má dle [[základní věta algebry|základní věty algebry]] nejvýše ''n'' komplexních kořenů  ''x''<sub>1</sub>,&nbsp;''x''<sub>2</sub>,&nbsp;...,&nbsp;''x''<sub>''n''</sub>. Viètovy vzorce potom předepisují ''n'' rovnic, které vedou k nalezení ''n'' kořenů:
 :<math>\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = \tfrac{-a_{n-1}}{a_n} \\
 (x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\
 {} \quad \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n}. \end{cases}</math>
+:Výrazy vlevo jsou tzv. elementární [[symetrické mnohočleny]] ''n'' proměnných''.''
 ==Příklad==