Ultrafiltr: Porovnání verzí
m robot: stylistické, typografické a kódové korekce a náhrady přesměrování podle specifikace |
m překlepy |
||
Řádek 12: | Řádek 12: | ||
Bod 1 a podmínka, podle které je ultrafiltr neprázdná množina, zaručují, že se jedná o [[vlastní filtr]] - '''ultrafiltr''' tedy není žádný z triviálních případů, kterými jsou prázdná množina a celá potenční množina <math> \mathbb{P}(X) \,\! </math><br /> |
Bod 1 a podmínka, podle které je ultrafiltr neprázdná množina, zaručují, že se jedná o [[vlastní filtr]] - '''ultrafiltr''' tedy není žádný z triviálních případů, kterými jsou prázdná množina a celá potenční množina <math> \mathbb{P}(X) \,\! </math><br /> |
||
Podle bodu 4 je v '''ultrafiltru''' obsažena podmnožina <math> A \subseteq X \,\! </math> nebo její doplněk <math> (X - A) \subseteq X \,\! </math>. Pokud by pro některou množinu <math> A \subseteq X \,\! </math> obsahoval |
Podle bodu 4 je v '''ultrafiltru''' obsažena podmnožina <math> A \subseteq X \,\! </math> nebo její doplněk <math> (X - A) \subseteq X \,\! </math>. Pokud by pro některou množinu <math> A \subseteq X \,\! </math> obsahoval ultrafiltr tuto množinu, i její doplněk, pak by musel podle bodu 2 obsahovat i <math> A \cap (X - A) = \emptyset \,\! </math> , a podle bodu 1 by se již nejednalo o ultrafiltr. Ultrafiltr tedy vždy obsahuje buď množinu, nebo její doplněk, ale nikdy ne obojí zároveň.<br /> |
||
Tato vlastnost tedy zaručuje, že '''ultrafiltr''' je mezi ostatními vlastními filtry na potenční množině v jistém smyslu [[Maximální prvek|maximální]] - jakmile bychom se pokusili přidat k němu další množinu, pak výsledkem již nebude ultrafiltr, výsledkem již dokonce nebude ani filtr. |
Tato vlastnost tedy zaručuje, že '''ultrafiltr''' je mezi ostatními vlastními filtry na potenční množině v jistém smyslu [[Maximální prvek|maximální]] - jakmile bychom se pokusili přidat k němu další množinu, pak výsledkem již nebude ultrafiltr, výsledkem již dokonce nebude ani filtr. |
||
Řádek 21: | Řádek 21: | ||
Za [[hlavní filtr]] považujeme filtr všech nadmnožin nějaké množiny <math> A \subseteq X \,\! </math>, hlavní filtr určený množinou <math> A \,\! </math> tedy lze zapsat jako<br /> |
Za [[hlavní filtr]] považujeme filtr všech nadmnožin nějaké množiny <math> A \subseteq X \,\! </math>, hlavní filtr určený množinou <math> A \,\! </math> tedy lze zapsat jako<br /> |
||
<math> F(A) = \{ B \subseteq X : A \subseteq B \} \,\! </math><br /> |
<math> F(A) = \{ B \subseteq X : A \subseteq B \} \,\! </math><br /> |
||
Mezi hlavními filtry existují ultrafiltry - jsou to hlavní filtry určené |
Mezi hlavními filtry existují ultrafiltry - jsou to hlavní filtry určené jednoprvkovou množinou <math> A = \{a \} \,\! </math>, kde <math> a \isin X \,\! </math>. Tyto ultrafiltry jsou nazývány '''triviální ultrafiltry'''. |
||
Na [[konečná množina|konečné množině]] je každý ultrafiltr triviální - celkový počet ultrafiltrů tedy odpovídá počtu prvků množiny <math> X \,\! </math>.<br /> |
Na [[konečná množina|konečné množině]] je každý ultrafiltr triviální - celkový počet ultrafiltrů tedy odpovídá počtu prvků množiny <math> X \,\! </math>.<br /> |
Verze z 5. 10. 2007, 15:45
Ultrafiltr je matematický pojem z oboru teorie množin.
Definice
Je-li množina a její potenční množina (tj. množina všech jejích podmnožin), pak řekneme, že neprázdná množina je ultrafiltr, pokud platí:
- neobsahuje prázdnou množinu
Vysvětlení definice
Podle bodu 2 je ultrafiltr dolů usměrněná množina, podle bodu 3 je to horní množina - jedná se tedy o filtr v potenční algebře.
Bod 1 a podmínka, podle které je ultrafiltr neprázdná množina, zaručují, že se jedná o vlastní filtr - ultrafiltr tedy není žádný z triviálních případů, kterými jsou prázdná množina a celá potenční množina
Podle bodu 4 je v ultrafiltru obsažena podmnožina nebo její doplněk . Pokud by pro některou množinu obsahoval ultrafiltr tuto množinu, i její doplněk, pak by musel podle bodu 2 obsahovat i , a podle bodu 1 by se již nejednalo o ultrafiltr. Ultrafiltr tedy vždy obsahuje buď množinu, nebo její doplněk, ale nikdy ne obojí zároveň.
Tato vlastnost tedy zaručuje, že ultrafiltr je mezi ostatními vlastními filtry na potenční množině v jistém smyslu maximální - jakmile bychom se pokusili přidat k němu další množinu, pak výsledkem již nebude ultrafiltr, výsledkem již dokonce nebude ani filtr.
Zjednodušeně řečeno, „seká“ ultrafiltr celou potenční množinu na dvě části. Z každé dvojice podmnožina - její doplněk vybírá přesně jednu možnost.
Příklady a vlastnosti
Triviální ultrafiltr
Za hlavní filtr považujeme filtr všech nadmnožin nějaké množiny , hlavní filtr určený množinou tedy lze zapsat jako
Mezi hlavními filtry existují ultrafiltry - jsou to hlavní filtry určené jednoprvkovou množinou , kde . Tyto ultrafiltry jsou nazývány triviální ultrafiltry.
Na konečné množině je každý ultrafiltr triviální - celkový počet ultrafiltrů tedy odpovídá počtu prvků množiny .
Na nekonečné množině odpovídá počet triviálních ultrafiltrů mohutnosti množiny .
Uniformní ultrafiltr
Ultrafiltr na množině X se nazývá uniformní, má-li každá množina mohutnost rovnou mohutnosti množiny X. Zřejmě každý uniformní ultrafiltr je netriviální.
Základní věta o ultrafiltrech
Nabízí se otázka, zda na nekonečné množině existují nějaké netriviální ultrafiltry. Kladnou odpověď dává základní věta o ultrafiltrech:
Každý centrovaný systém lze rozšířit do ultrafiltru.
Protože filtr je speciálním případem centrovaného systému, lze podle této věty každý filtr rozšířit (přidáním nějakých dalších podmnožin) na ultrafiltr. Vezmeme-li v úvahu například Fréchetův filtr a aplikujeme na něj tuto větu, získáváme důkaz o existenci ultrafiltru, který určitě není triviální.
Důkaz této věty podstatným způsobem používá princip maximality - větu nelze dokázat, bez přijetí axiomu výběru nebo nějaké jeho obdoby.
Dualita s prvoideálem
Stejně jako u většiny pojmů z teorie uspořádání, má i ultrafiltr svůj duální pojem - prvoideál. Ke každému ultrafiltru existuje duální prvoideál - množina všech doplňků z :
Vztah platí i opačně - množina doplňků k prvoideálu je ultrafiltr - duální ultrafiltr. Navíc je každý ultrafiltr duálním ultrafiltrem svého duálního prvoideálu, tj. platí