Pravoúhlý trojúhelník: Porovnání verzí

← Přejít na předchozí porovnání Přejít na další porovnání →

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verze z 20. 5. 2020, 12:57

Pravoúhlý trojúhelník je takový trojúhelník, jehož jeden vnitřní úhel je pravý, tzn. má velikost 90°; jinými slovy, dvě ze stran pravoúhlého trojúhelníka jsou na sebe kolmé.

Označení

Strany trojúhelníka $a$ , $b$ sousedící s pravým úhlem se označují jako odvěsny, nejdelší strana $c$ protilehlá pravému úhlu jako přepona. Úhly přiléhající k přeponě se označují $\alpha$ , $\beta$ , úhel mezi odvěsnami je $\gamma =90^{\circ }$ .

Základní vlastnosti

Mezi délkami stran trojúhelníku platí Pythagorova věta: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ .
Pro pravoúhlý trojúhelník platí Euklidovy věty.
Vrchol pravého úhlu vždy leží na kružnici, jejímž průměrem je přepona trojúhelníku a jejíž středem je střed přepony (Thaletova věta).
Pravoúhlý trojúhelník je základem pro definice goniometrických funkcí.
Obsah pravoúhlého trojúhelníka je roven $S={\frac {ab}{2}}$ . Podle Heronova vzorce ho lze vyjádřit jako $S={\sqrt {s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}}$ , kde $s={\frac {1}{2}}(a+b+c)$ .
Obvod trojúhelníku: $o=a+b+c$
Úhly v trojúhelníku:
- $\alpha +\beta =90^{\circ }$ , $\gamma =90^{\circ }$
- $\alpha =\arcsin {\frac {a}{c}}=\arccos {\frac {b}{c}}=\arctan {\frac {a}{b}}=\operatorname {arccot} {\frac {b}{a}}$
- $\beta =\arcsin {\frac {b}{c}}=\arccos {\frac {a}{c}}=\arctan {\frac {b}{a}}=\operatorname {arccot} {\frac {a}{b}}$
Výšky v trojúhelníku:
- $v_{a}=b$ , $v_{b}=a$
- $v_{c}={\frac {ab}{c}}=a\sin \beta =b\sin \alpha ={\sqrt {c_{a}c_{b}}}$ , kde $c_{a}={\frac {a^{2}}{c}}$ , $c_{b}={\frac {b^{2}}{c}}$ .

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu pravoúhlý trojúhelník na Wikimedia Commons
Pravoúhlý trojúhelník v encyklopedii Mathworld (anglicky)

@@ Řádek 4: / Řádek 4: @@
 == Označení ==
-Strany trojúhelníka ''a'', ''b'' sousedící s pravým úhlem se označují jako '''odvěsny''', strana ''c'' protilehlá pravému úhlu jako '''přepona'''.
+Strany trojúhelníka <math>a</math>, <math>b</math> sousedící s pravým úhlem se označují jako '''odvěsny''', nejdelší strana <math>c</math> protilehlá pravému úhlu jako '''přepona'''. Úhly přiléhající k přeponě se označují <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, úhel mezi odvěsnami je <math>\gamma = 90^\circ</math>.
 == Základní vlastnosti ==
-* Vnitřní úhly pravoúhlého trojúhelníka mají hodnoty <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> a <math>90^\circ</math>; platí <math>\alpha + \beta = 90^\circ</math>.
 * Mezi délkami stran trojúhelníku platí [[Pythagorova věta]]: <math>a^2+ b^2 = c^2</math>.
 * Pro pravoúhlý trojúhelník platí [[Euklidova věta|Euklidovy věty]].
 * Vrchol pravého úhlu vždy leží na kružnici, jejímž průměrem je přepona trojúhelníku a jejíž středem je střed přepony ([[Thaletova věta]]).
 * Pravoúhlý trojúhelník je základem pro definice [[goniometrická funkce|goniometrických funkcí]].
-* [[Obsah]] pravoúhlého trojúhelníka je roven <math>S = \frac{ab}{2}</math>.
+* [[Obsah]] pravoúhlého trojúhelníka je roven <math>S = \frac{ab}{2}</math>. Podle [[Heronův vzorec|Heronova vzorce]] ho lze vyjádřit jako <math>S = \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)}</math>, kde <math>s = \frac{1}{2} (a + b + c)</math>.
+* [[Obvod]] trojúhelníku: <math>o = a+b+c</math>
-<!--zrušené vzorce = c v_c^2 = \frac{1}{4}c^2//-->
+* [[Úhel|Úhly]] v trojúhelníku:
-* Také podle [[Heronův vzorec|Heronova vzorce]] je obsah roven <math>S = \sqrt[2]{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)}</math> kde <math>s = \frac{1}{2} (a + b + c)</math>.
-* <math>o = a+b+c</math>
+** <math>\alpha + \beta = 90^\circ</math>, <math>\gamma = 90^\circ</math>
-* <math>c_b = \frac{b^2}{c}</math>
+** <math>\alpha = \arcsin \frac{a}{c} = \arccos \frac{b}{c} = \arctan \frac{a}{b} = \arccot \frac{b}{a}</math>
-* <math>c_a = \frac{a^2}{c}</math>
+** <math>\beta = \arcsin \frac{b}{c} = \arccos \frac{a}{c} = \arctan \frac{b}{a} = \arccot \frac{a}{b}</math>
+* [[Výška (geometrie)|Výšky]] v trojúhelníku:
-* <math>v_c = \sqrt[2]{c_a c_b}</math>
-* <math>\alpha = \arcsin \frac{a}{c} = \arccos \frac{b}{c}</math>
+** <math>v_a = b</math>, <math>v_b = a</math>
-* <math>\beta = \arcsin \frac{b}{c} = \arccos \frac{a}{c}</math>
+** <math>v_c = \frac{ab}{c} = a \sin \beta = b \sin \alpha = \sqrt{c_a c_b}</math>, kde <math>c_a = \frac{a^2}{c}</math>, <math>c_b = \frac{b^2}{c}</math>.
-* <math>a = \sqrt[2]{v_c^2+c_a^2}</math>
-* <math>b = \sqrt[2]{v_c^2+c_b^2}</math>
-* <math> \ v_a = b \sin \gamma = c \sin \beta</math>
-* <math> \ v_b = a \sin \gamma = c \sin \alpha</math>
-* <math> \ v_c = a \sin \beta = b \sin \alpha</math>
 == Související články ==