Polární báze

Polární báze je matematický pojem z oblasti lineární algebry. Je to taková báze vektorového prostoru, vůči které má daná bilineární forma diagonální matici. Prvky polární báze lze považovat v jistém smyslu za na sebe kolmé vzhledem k dané bilineární formě. V unitárních prostorech nad komplexními čísly se používá pojem polární báze i pro seskvilineární formy.

Definice

Nechť f je bilineární forma na vektorovém prostoru V. Báze B prostoru V se nazývá polární báze f, je-li pro každé dva různé prvky b, c ∈ B f(b,c) = 0.

Nechť charakteristika tělesa T je různá od 2 a V je vektorový prostor nad T. Pro danou kvadratickou formu q zvolíme bilineární formu f_q předpisem f_q(u,v) = q(u + v) - 1/2 (q(u) + q(v)) (pak q(u) = f_q(u,u)). Pak polární bází q se nazývá každá polární báze f_q.

Existence

Platí následující tvrzení:

Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T charakteristiky různé od 2. Pro každou symetrickou bilineární formu f na V existuje polární báze.

Důkaz

Důkaz této věty probíhá snadnou indukcí podle dimenze V.

Pro dimenzi rovnou 1 je zřejmě každá báze polární.

Nechť tvrzení platí pro dimenzi n - 1. Mohou nastat dvě možnosti:

• f je konstantně nulová. Pak jakákoli báze V je polární.
• Existují u, v, že $f(u,v)\neq 0$. Pak nutně existuje w, že $f(w,w)\neq 0$ (jinak totiž f(u + v,u + v)= f(u,u) + 2f(u,v) + f(v,v) = 2f(u,v), což není nula). Množina W všech u takových, že f(w,u) = 0 tvoří podprostor V dimenze n - 1 neobsahující w. Podle indukčního předpokladu má tedy W polární bázi {u₁,…,u_{n - 1}}. Z volby W pak plyne, že {u₁,…,u_{n - 1},w} je polární báze V.

Komplexní čísla

V unitárním prostoru nad komplexními čísly se potom používá (oproti ${\textstyle \mathbb {R} }$) silnější tvrzení:

Nechť V je unitární prostor nad $\mathbb {C}$ s ortogonální bází B. Pro každou seskvilineární formu, jejíž matice je vůči B normální, existuje polární báze P taková, že matice přechodu mezi B a P je unitární.

Toto vyplývá z faktu, že normální matice jsou ortogonálně diagonalizovatelné, tedy lze najít takovou unitární matici U, že $A=U^{-1}DU=U^{+}DU$, kde D je diagonální matice.

Signatura kvadratických forem

Související informace naleznete také v článku Kvadratická forma.

Je-li q kvadratická forma na reálném vektorovém prostoru, je bilineární forma f_q definovaná předpisem f_q(u,v) = 1/2 (q(u + v) - q(u) - q(v)) symetrická. Z tvrzení o existenci polárních bází tedy plyne, že q má polární bázi.

Trojice (n(q), k(q), z(q)), kde n(q), k(q) a z(q) značí po řadě počet prvků u dané polární báze q, pro něž je q(u) nulové, resp. kladné, resp. záporné, se nazývá signatura kvadratické formy q.

Skutečnost, že signatura q je stejná pro libovolnou volbu polární báze, vyjadřuje tzv. Zákon setrvačnosti kvadratických forem.

Kvadratická forma se signaturou (n, k, z) se nazývá:

• pozitivně definitní, je-li n = z = 0.
• pozitivně semidefinitní, je-li z = 0.
• negativně definitní, je-li n = k = 0.
• negativně semidefinitní, je-li k = 0.
• indefinitní, je-li k, z > 0.

Příklady

• Je-li f symetrická pozitivně definitní, tj. f je skalární součin, pak vektory tvořící polární bázi f jsou na sebe po dvou kolmé.

Odkazy

Související články

• Bilineární forma
• Kvadratická forma
• Báze