Thaletova věta: Porovnání verzí
značky: vulgarity editace z Vizuálního editoru |
značka: editace z Vizuálního editoru |
||
| Řádek 14: | Řádek 14: | ||
== Důkaz == |
== Důkaz == |
||
Podívejte se na horní obrázek, kde je příklad úhlu sestrojeného nad průměrem kružnice. Protože trojúhelníky '''CSB''' a '''ASC''' jsou rovnoramenné (vždy dvě jejich ramena jsou dlouhá ''r''), má úhel '''∠BCA''' velikost α+β. Součet úhlů v trojúhelníku '''ABC''' je pak: |
Podívejte se na horní obrázek, kde je příklad úhlu sestrojeného nad průměrem kružnice. Protože trojúhelníky '''CSB''' a '''ASC''' jsou rovnoramenné (vždy dvě jejich ramena jsou dlouhá ''r''), má úhel '''∠BCA''' velikost α+β. Součet úhlů v trojúhelníku '''ABC''' je pak:[[Soubor:Thaletova veta zobecneni.svg|thumb|Zobecnění Thaletovy věty.]] |
||
[[Soubor:Thales theorem by refelection1.svg |thumb|upright=1.0| Čtyřúhelník ACBD je rovnoběžník a úhlopříčky AB i CD jsou stejně dlouhé, takže je to rovnoběžník pravoúhlý ]]GAY ERIK HO V MINULÉM ŽIVOTĚ OJEBAL DO ANÁLNÍHO VÝTOKU SKRZ PRST A KRK[[Soubor:Thaletova veta zobecneni.svg|thumb|Zobecnění Thaletovy věty.]] |
|||
''α'' + ''β'' + ''α'' + ''β'' = 2 ''α'' + 2 ''β'' = 180°. |
''α'' + ''β'' + ''α'' + ''β'' = 2 ''α'' + 2 ''β'' = 180°. |
||
Verze z 10. 6. 2018, 16:38
Thaletova věta je matematická věta o velikosti úhlů trojúhelníků vytvořených nad průměrem kružnice. Je pojmenována po Thalétovi z Milétu, který ji jako první dokázal.
Kružnice, která je součástí konstrukce Thaletovy věty, bývá označována jako Thaletova kružnice.
Znění
Všechny obvodové úhly sestrojené nad průměrem kružnice jsou pravé.
Jiné znění: Všechny trojúhelníky, jejichž střed kružnice opsané půlí nejdelší stranu, jsou pravoúhlé.
Nebo jinak: Sestrojme libovolnou kružnici s průměrem. Koncové body jejího průměru označíme A a B a zvolíme libovolný bod C na kružnici. Pak platí, že trojúhelník ABC je pravoúhlý a má pravý úhel u vrcholu C.
Původní znění[zdroj?]: "Středový úhel je dvojnásobek obvodového" Z toho vyplývají předešlá znění. (Při středovém úhlu 180° - přímka je obvodový úhel pravý - 90°)
Důkaz
Podívejte se na horní obrázek, kde je příklad úhlu sestrojeného nad průměrem kružnice. Protože trojúhelníky CSB a ASC jsou rovnoramenné (vždy dvě jejich ramena jsou dlouhá r), má úhel ∠BCA velikost α+β. Součet úhlů v trojúhelníku ABC je pak:
α + β + α + β = 2 α + 2 β = 180°.
Z toho pak snadno vyjádříme, že úhel
∠BCA = α + β = 90°.
Geometrický důkaz
Trojúhelník ACB nad průměrem kružnice AB můžeme zrcadlově sklopit kolem tohoto průměru (trojúhelník ABC') a ještě jednou kolem svislé osy kruhu (trojúhelník ABD). Strany čtyřúhelníka ACBD jsou po dvou rovnoběžné a obě jeho úhlopříčky (AB a CD) jsou průměry kružnice a tedy stejně dlouhé. Čtyřúhelník ACBD je tedy pravoúhlý a pravý je i úhel ACB.
Zobecnění
Thaletova věta je zvláštní případ věty: Jestliže máme tři body A, B a C na kružnici se středem S, potom úhel ∠ASC je dvakrát tak velký než úhel ∠ABC.
Historie
Thalés z Milétu nebyl první, kdo tuto větu vyslovil. Byla známá již Egypťanům a Babyloňanům, ačkoli ti ji znali jen ze zkušenosti, nedokázali ji. To udělal až Thalés, který využil znalostí toho, že úhly při základně rovnoramenného trojúhelníku mají stejnou velikost a součet úhlů v trojúhelníku je roven dvěma pravým úhlům.
Literatura
- Jiří Doležal: Základy geometrie, Vysoká škola báňská – Technická univerzita v Ostravě, Ostrava 2006, ISBN 80-248-1202-9, str. 13
- Šárka Voráčová a kolektiv: Atlas geometrie – Geometrie krásná a užitečná, Academia, Praha 2012, ISBN 978-80-200-1575-4, str. 16-17