Teoretická mechanika

Teoretická mechanika je přístup, který na rozdíl od klasické Newtonovy mechaniky nebere za axiomy Newtonovy pohybové zákony. Formuluje odlišné exaktnější axiomy. Takové formulace mechaniky pak umožňují daleko elegantnější řešení některých fyzikálních problémů. Například máme-li malou kuličku kutálející se po velké kouli a chceme-li spočítat, ve kterém místě se kulička od koule odtrhne.
Poprvé takto přeformuloval klasickou mechaniku Joseph Louis Lagrange v roce 1788. Ústředními tématy teoretické mechaniky jsou Lagrangeovy rovnice, D'Alembertův princip, Hamiltonův variační princip a kanonické transformace.

Vazby

Síly, které působí na hmotné body, můžeme rozdělit do dvou skupin. Na jedné straně jsou to síly vtištěné ${\mathbf {F}}$, např. gravitace, elektromagnetická síla, odpor vzduchu atd. Na druhé straně jsou to síly vazbové ${\mathbf {R}}$,tj. reakce podložek či obecnějších vazeb. Matematicky zapisujeme vazby následovně: Pohyb po kouli o poloměru $a$ se středem v počátku je omezen vazbou

$\phi ({\mathbf {r} })=x^{2}+y^{2}+z^{2}-a^{2}=0$. )

Dále se budeme zabývat pouze popisem pohybu podrobeného tzv. holonomním, tzn. na rychlosti nezávisejícím vazbám.

Síly holonomních vazeb jsou k vazbám kolmé.

D'Alembertův princip

Matematicky můžeme tento princip formulovat pro soustavu $N$ hmotných bodů pomocí virtuálních posunutí $\delta x_{i}$.

Virtuální posunutí jsou nekonečně malá posunutí, která jsou v každém okamžiku v souladu s vazbami.

Soustava N hmotných bodů se vyvíjí takovým způsobem, že
$\sum _{i=1}^{3N}(m_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}-F_{i})\delta x_{i}=0$
pro každé $\delta x_{i}$.