Mayerův vztah

Mayerův vztah popisuje souvislost mezi molárními tepelnými kapacitami při konstantním tlaku a při konstantním objemu, platný přesně pro ideální plyn. Je pojmenován po svém objeviteli, německém fyzikovi Juliu von Mayerovi.

Pro ideální plyn nabývá známého tvaru:

$c_{p}=c_{V}+R_{m},$

kde:

$R_{m}$ je molární plynová konstanta (zhruba 8,314 J·K^-1·mol^-1),

$c_{p}$ je měrná molární tepelná kapacita při stálém tlaku a

$c_{V}$ je měrná molární tepelná kapacita při stálém objemu.

Pro obecný termodynamický systém jednotkového látkového množství platí:

$C_{P}-C_{V}=VT{\frac {\alpha ^{2}}{\beta _{T}}},$

kde:

$\alpha$ je tepelná roztažnost,

$\beta _{T}$ izotermická objemová stlačitelnost a

$V,T$ jsou objem a termodynamická teplota.

Odvození pro ideální plyn

$C_{p}-C_{V}=\left({\frac {\partial H}{\partial T}}\right)_{p}-\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}=\left({\frac {\partial (U+pV)}{\partial T}}\right)_{p}-\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{p}+p\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}-\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}$

Entalpie $H$ je definována vztahem

$H=U+pV$

kde $U$ je vnitřní energie soustavy, $p$ je její tlak a $V$ objem.

Vnitřní energie je funkcí teploty a objemu, tudíž $\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{p}$ je nutno přepsat jako $\left({\frac {\partial U(T,V(p,T))}{\partial T}}\right)_{p}$

$\left({\frac {\partial U(T,V(p,T))}{\partial T}}\right)_{p}=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}+\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}$

Po dosazení do odvození dostaneme

$C_{p}-C_{V}=p\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}+\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}\left[p+\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}\right]$

Z diferenciálu definice vnitřní energie a Maxwellových relací dostaneme

$\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{p}-p=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p$

Dalším dosazením do odvození se výraz změní na

$C_{p}-C_{V}=T\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}$

Ze vzorce derivace implicitní funkce

$\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}\left({\frac {\partial T}{\partial p}}\right)_{V}\left({\frac {\partial p}{\partial V}}\right)_{T}=-1$

vyjádříme

$\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}=-{\frac {\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}}{\left({\frac {\partial p}{\partial V}}\right)_{T}}}$

Opět dosadíme

$C_{p}-C_{V}=-T{\frac {\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}^{2}}{\left({\frac {\partial p}{\partial V}}\right)_{T}}}$

Ze stavové rovnice ideálního plynu

$pV=nRT$

vyjádříme

$p={\frac {nRT}{V}}$

a

$\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}={\frac {nR}{V}};\left({\frac {\partial p}{\partial V}}\right)_{T}=-{\frac {nRT}{V^{2}}}$

Znovudosazením do odvození

$C_{p}-C_{V}=-T{\frac {\left({\frac {n^{2}R^{2}}{V^{2}}}\right)}{\left(-{\frac {nRT}{V^{2}}}\right)}}$

dostaneme výsledný Mayerův vztah

$C_{p}-C_{V}=nR$

$c_{p}n-c_{V}n=nR$

$c_{p}-c_{V}=R$

Související články

• Poissonova konstanta

Portály: Fyzika