Dimenze vektorového prostoru

Dimenzí (nebo také rozměrem) vektorového prostoru nazýváme počet prvků libovolné báze tohoto prostoru. Triviálnímu vektorovému prostoru {0}, který nemá žádnou bázi, přiřazujeme dimenzi 0.

Vektorový prostor $V$ dimenze $n$ zapisujeme jako $V_{n}$, popř. píšeme $\dim V=n$. Prostor $V_{n}$ nazýváme $n$-rozměrným vektorovým prostorem. Pokud je dimenze konečná, příslušný vektorový prostor se označuje jako konečněrozměrný.

Příklady

• Vektorový prostor $\mathbb {R} ^{3}$ má bázi $\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ o třech prvcích, takže jeho dimenze je 3. Obecně platí, že $\dim \mathbb {R} ^{n}=n$ a ještě obecněji $\dim F^{n}=n$ (pro libovolné těleso $F$).
• Komplexní čísla jako vektorový prostor nad tělesem reálných čísel mají dimenzi 2, jako vektorový prostor nad tělesem komplexních čísel však mají dimenzi 1.
• Vektorový prostor polynomů s reálnými koeficienty $\mathbb {R} [n]$ má bázi $\{1,x,x^{2},x^{3},\ldots \}$ o nekonečně mnoha prvcích, dimenze tohoto prostoru je proto $\aleph _{0}$ (alef 0).

Vlastnosti

Je-li $W$ podprostorem prostoru $V$, pak platí $\dim W\leq \dim V$, přičemž rovnost nastává pouze tehdy, pokud $W=V$. Libovolné dva konečněrozměrné vektorové prostory nad stejným tělesem se stejnou dimenzí jsou izomorfní.

Pokud je $F$ rozšíření tělesa $K$, je $F$ vektorový prostor nad tělesem $K$ a libovolný vektorový prostor $V$ nad tělesem $F$ je také vektorový prostor nad tělesem $K$, přičemž platí

$\dim _{K}(V)=\dim _{K}(F)\cdot \dim _{F}(V)$

Příkladem je fakt, že libovolný komplexní vektorový prostor dimenze $n$ je současně reálným vektorovým prostorem dimenze $2n$.

Pokud $V$ je vektorový prostor nad tělesem $F$, platí:

• Pokud je $\dim V$ konečné, pak $|V|=|F|\dim V$,
• pokud je $\dim V$ nekonečné, pak $|V|=\max \left(|F|,\dim V\right)$.

Související články

• Rozměr
• Hausdorffova dimenze
• Topologická dimenze
• Báze (algebra)