Přirozené číslo: Porovnání verzí
Verze 14356553 uživatele 213.192.3.150 (diskuse) zrušena |
m Přidání šablony Commonscat dle ŽOPP z 28. 7. 2016; kosmetické úpravy |
||
Řádek 3: | Řádek 3: | ||
== Značení == |
== Značení == |
||
[[Množina]] přirozených čísel se označuje velkým písmenem '''N''' (nebo zdvojeným písmenem <math>\mathbb{N}</math>). |
[[Množina]] přirozených čísel se označuje velkým písmenem '''N''' (nebo zdvojeným písmenem <math>\mathbb{N}</math>). |
||
Protože někteří autoři touto značkou označují kladná celá čísla a jiní nezáporná celé čísla, používají se také značení, která tuto nejednoznačnost vylučují: |
Protože někteří autoři touto značkou označují kladná celá čísla a jiní nezáporná celé čísla, používají se také značení, která tuto nejednoznačnost vylučují: |
||
Řádek 9: | Řádek 9: | ||
** '''N<sup>0</sup>''', resp. <math>\mathbb{N}^{0}</math>, případně '''N<sub>0</sub>''', resp. <math>\mathbb{N}_{0}</math>, nebo |
** '''N<sup>0</sup>''', resp. <math>\mathbb{N}^{0}</math>, případně '''N<sub>0</sub>''', resp. <math>\mathbb{N}_{0}</math>, nebo |
||
** '''Z<sup>+</sup><sub>0</sub>''', resp. <math>\mathbb{Z}^{+}_{0}</math>; |
** '''Z<sup>+</sup><sub>0</sub>''', resp. <math>\mathbb{Z}^{+}_{0}</math>; |
||
* pro [[Kladné číslo|kladná]] celá čísla, (bez [[Nula|nuly]]): |
* pro [[Kladné číslo|kladná]] celá čísla, (bez [[Nula|nuly]]): |
||
** '''N<sup>+</sup>''', resp. <math>\mathbb{N}^{+}</math>, nebo |
** '''N<sup>+</sup>''', resp. <math>\mathbb{N}^{+}</math>, nebo |
||
** '''Z<sup>+</sup>''', resp. <math>\mathbb{Z}^{+}</math>. |
** '''Z<sup>+</sup>''', resp. <math>\mathbb{Z}^{+}</math>. |
||
Řádek 54: | Řádek 54: | ||
== Externí odkazy == |
== Externí odkazy == |
||
* {{Commonscat}} |
|||
* {{Wikislovník|heslo=přirozené číslo}} |
* {{Wikislovník|heslo=přirozené číslo}} |
||
* http://www.stetson.edu/~efriedma/numbers.html |
* http://www.stetson.edu/~efriedma/numbers.html |
Verze z 6. 12. 2016, 20:57
Přirozeným číslem (číslem z oboru přirozených čísel) se v matematice obvykle rozumí nezáporné celé číslo (0, 1, 2, 3, …), které lze použít k vyjádření mohutnosti (konečné) množiny (viz kardinální číslo), resp. počtu nějakých předmětů. Zejména ve starší literatuře se nula mezi přirozená čísla nepočítala, což vychází z použití přirozených čísel pro vyjadřování pořadí (viz ordinální číslo). Přirozená čísla patří mezi základní matematické koncepty, a protože se považují za nejjednodušší na pochopení, začíná výuka matematiky obvykle od přirozených čísel.
Značení
Množina přirozených čísel se označuje velkým písmenem N (nebo zdvojeným písmenem ).
Protože někteří autoři touto značkou označují kladná celá čísla a jiní nezáporná celé čísla, používají se také značení, která tuto nejednoznačnost vylučují:
- pro nezáporná celá čísla (včetně nuly):
- N0, resp. , případně N0, resp. , nebo
- Z+0, resp. ;
- pro kladná celá čísla, (bez nuly):
- N+, resp. , nebo
- Z+, resp. .
Formální definice
Exaktní matematické definice množiny přirozených čísel jsou založeny na následujících axiomech (tzv. Peanova aritmetika):
- Existuje číslo 0.
- Každé přirozené číslo a má následníka, označeného jako S(a).
- Neexistuje přirozené číslo, jehož následníkem by byla 0.
- Různá přirozená čísla mají různé následníky: pokud a ≠ b, pak S(a) ≠ S(b).
- Pokud nějakou vlastnost splňuje jak číslo 0, tak i každé číslo, které je následníkem nějakého čísla, které tuto vlastnost splňuje, pak tuto vlastnost splňují všechna přirozená čísla. (Tento axiom zajišťuje platnost důkazů technikou matematické indukce.)
(Poznámka: Číslo 0 v těchto postulátech nemusí odpovídat běžnému výkladu přirozeného čísla nula. 0 v této formální definici znamená pouze nějaký objekt, který spolu s funkcí následnosti splňuje Peanovy axiomy.)
Konstrukce
Nejběžnější konstrukcí přirozených čísel v axiomatické teorii množin je následující postup:
- Definujeme 0 = {}.
- Definujeme S(a) = a ∪ {a} pro všechna a.
- Množinu přirozených čísel pak definujeme jako průnik všech množin obsahujících 0 a uzavřených vůči funkci následnosti.
Pomocí axiomu nekonečna lze dokázat, že tato definice splňuje Peanovy axiomy.
V této definici je každé přirozené číslo množinou čísel menších než ono, tedy:
0 = {}
1 = {0} = {{}}
2 = {0, 1} = {0, {0}} = {{}, {{}}}
3 = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}}
…atd.
Tato definice souhlasí s intuitivním pojetím, že každé přirozené číslo n vyjadřuje mohutnost množiny o právě n prvcích.
Vlastnosti
- Množina přirozených čísel je nekonečná (existuje nekonečně mnoho přirozených čísel), avšak spočetná (podle definice).
- Na přirozených číslech můžeme definovat operaci sčítání takto: a + 0 = a, a + S(b) = S(a + b) pro všechna a, b. Tím se stane (N, +) komutativním monoidem s neutrálním prvkem 0. Pokud definujeme S(0) = 1, je S(a) = S(a + 0) = a + S(0) = a + 1, tzn. následníkem čísla a je číslo a + 1. Tento monoid je možné vnořit do grupy; nejmenší grupou obsahující přirozená čísla jsou celá čísla.
- Obdobně můžeme s využitím operace sčítání definovat operaci násobení takto: a * 0 = 0, a * (b + 1) = (a * b) + a. Tím se stane (N, *) komutativním monoidem s neutrálním prvkem 1. Sčítání a násobení splňují distributivní zákon: a * (b + c) = (a * b) + (a * c). (N, +, *) je tedy komutativním polookruhem.
- Na přirozených číslech lze definovat úplné uspořádání, kdy a ≤ b právě tehdy, když existuje přirozené číslo c tak, že a + c = b. Přirozená čísla jsou dobře uspořádaná, tzn. každá neprázdná množina přirozených čísel má nejmenší prvek.
- Na přirozených číslech neexistuje operace dělení, neboť podíl dvou přirozených čísel obecně nemusí být přirozené číslo. Alternativou je tady dělení se zbytkem: pro libovolná dvě přirozená čísla a, b, kde b ≠ 0, můžeme najít taková přirozená čísla r a q, že platí a = bq + r a zároveň r < b. Číslu r pak říkáme zbytek po dělení čísla a číslem b, číslo q je celočíselný podíl a a b. Tato operace je základem mnoha vlastností (dělitelnost), postupů (Euklidův algoritmus) a idejí v teorii čísel. Na existenci a vlastnostech zbytků po dělení v přirozených číslech je založena jedna část kryptografie.
Externí odkazy
- Obrázky, zvuky či videa k tématu přirozené číslo na Wikimedia Commons
- Slovníkové heslo přirozené číslo ve Wikislovníku
- http://www.stetson.edu/~efriedma/numbers.html