Řádek 36:
Řádek 36:
:<math>f(x_1,x_2,...,x_n) = f(a_1,a_2,...,a_n) + \frac{\mathrm{d}f(a_1,a_2,...,a_n)}{1!} + \frac{\mathrm{d}^2 f(a_1,a_2,...,a_n)}{2!} + ... + \frac{\mathrm{d}^n f(a_1,a_2,...,a_n)}{n!} + R_{n+1}^{f,a}</math>,
:<math>f(x_1,x_2,...,x_n) = f(a_1,a_2,...,a_n) + \frac{\mathrm{d}f(a_1,a_2,...,a_n)}{1!} + \frac{\mathrm{d}^2 f(a_1,a_2,...,a_n)}{2!} + ... + \frac{\mathrm{d}^n f(a_1,a_2,...,a_n)}{n!} + R_{n+1}^{f,a}</math>,
kde funkci <math>R_{n+1}^{f,a}</math>, která udává chybu, které se dopouštíme při ukončení rozvoje ''n''-tým členem, lze vyjádřit ve tvaru
kde funkci <math>R_{n+1}^{f,a}</math>, která udává chybu, které se dopouštíme při ukončení rozvoje ''n''-tým členem, lze vyjádřit ve tvaru
:<math>R_{n+1}^{f,a} = \frac{\mathrm{d}^{n+1} f(a_1+\Theta (x_1 - a_1),a_2+\Theta (x_2 - a_2),...,a_n + \Theta (x_n - a_n)}{(n+1)!}</math>
:<math>R_{n+1}^{f,a} = \frac{\mathrm{d}^{n+1} f(a_1+\Theta (x_1 - a_1),a_2+\Theta (x_2 - a_2),...,a_n + \Theta (x_n - a_n) )}{(n+1)!}</math>
pro <math>\Theta \in (0,1)</math>.
pro <math>\Theta \in (0,1)</math>.
Taylorův rozvoj stupně 1 3 5 7 9 11 13 sin(x) . Sin(x) je vyznačen černě. Taylorova řada je v matematice zvláštní mocninná řada .
Za určitých předpokladů o funkci f(x) v okolí bodu a lze tuto funkci vyjádřit (rozvinout) jako mocninnou řadu. Toto vyjádření funkce prostřednictvím Taylorovy řady se označuje jako Taylorův rozvoj . Pokud se jedná o rozvoj v okolí bodu 0, mluvíme o Maclaurinově řadě.
Pro přibližné vyjádření hodnot funkce není nutné vyjadřovat všechny členy Taylorovy řady, ale můžeme zanedbat členy s vyššími derivacemi. Získáme tím tzv. Taylorův polynom . Taylorův polynom tedy aproximuje hodnoty funkce , která má v daném bodě derivaci , pomocí polynomu , jehož koeficienty závisí na derivacích funkce v tomto bodě.
Řada je pojmenována po anglickém matematikovi Brooku Taylorovi , který ji publikoval v roce 1712, avšak metoda aproximace funkce mocninnou řadou byla objevena již roku 1671 Jamesem Gregorym .
Definice V případě existence všech konečných derivací funkce
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
1
!
(
x
−
a
)
+
f
′
′
(
a
)
2
!
(
x
−
a
)
2
+
f
(
3
)
(
a
)
3
!
(
x
−
a
)
3
+
.
.
.
=
∑
k
=
0
∞
f
(
k
)
(
a
)
k
!
(
x
−
a
)
k
{\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f^{\prime }(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{\prime \prime }(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+...=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
T
n
f
,
a
(
x
)
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
1
!
(
x
−
a
)
+
f
′
′
(
a
)
2
!
(
x
−
a
)
2
+
…
+
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
=
∑
k
=
0
n
f
(
k
)
(
a
)
k
!
(
x
−
a
)
k
{\displaystyle T_{n}^{f,a}(x)=f(a)+{\frac {f^{\prime }(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{\prime \prime }(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}
kde nultou derivací je myšlena samotná funkce, tzn.
f
(
0
)
=
f
{\displaystyle f^{(0)}=f}
Taylorův polynom je tedy speciálním případem Taylorovy řady, který získáme tehdy, jsou-li od určitého
n
{\displaystyle n}
nulové .
Taylorova věta Rozvoj funkce
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
a
{\displaystyle a}
(
n
+
1
)
{\displaystyle (n+1)}
Taylorovy věty , která říká, že takovéto funkce lze v okolí bodu
a
{\displaystyle a}
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
1
!
(
x
−
a
)
+
f
′
′
(
a
)
2
!
(
x
−
a
)
2
+
.
.
.
+
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
+
R
n
+
1
f
,
a
(
x
)
{\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f^{\prime }(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{\prime \prime }(a)}{2!}}{(x-a)}^{2}+...+{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}{(x-a)}^{n}+R_{n+1}^{f,a}(x)}
Nechť je funkce
φ
{\displaystyle \varphi }
a
{\displaystyle a}
c
{\displaystyle c}
R
n
+
1
f
,
a
(
x
)
=
1
n
!
φ
(
x
)
−
φ
(
a
)
φ
′
(
c
)
f
(
n
+
1
)
(
c
)
(
x
−
c
)
n
{\displaystyle R_{n+1}^{f,a}(x)={\frac {1}{n!}}{\frac {\varphi (x)-\varphi (a)}{\varphi ^{\prime }(c)}}f^{(n+1)}(c)(x-c)^{n}}
Speciálně lze zbytek
R
n
+
1
{\displaystyle R_{n+1}}
R
n
+
1
f
,
a
(
x
)
=
f
(
n
+
1
)
(
c
)
(
n
+
1
)
!
(
x
−
a
)
n
+
1
{\displaystyle R_{n+1}^{f,a}(x)={\frac {f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}{(x-a)}^{n+1}}
Lagrangeův tvar zbytku , tedy
φ
(
t
)
=
(
x
−
t
)
n
+
1
{\displaystyle \varphi (t)=(x-t)^{n+1}}
R
n
+
1
f
,
a
(
x
)
=
1
n
!
f
(
n
+
1
)
(
c
)
(
x
−
c
)
n
(
x
−
a
)
{\displaystyle R_{n+1}^{f,a}(x)={\frac {1}{n!}}f^{(n+1)}(c)(x-c)^{n}(x-a)}
Cauchyův tvar zbytku , tedy
φ
(
t
)
=
t
{\displaystyle \varphi (t)=t}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
konverguje v bodě
x
{\displaystyle x}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
lim
n
→
∞
R
n
f
,
a
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}^{f,a}(x)=0}
Taylorova řada funkce více proměnných Pro funkci
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
{\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}
A
=
[
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
]
{\displaystyle A=[a_{1},a_{2},...,a_{n}]}
totálních diferenciálů jako
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
=
f
(
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
)
+
d
f
(
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
)
1
!
+
d
2
f
(
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
)
2
!
+
.
.
.
+
d
n
f
(
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
)
n
!
+
R
n
+
1
f
,
a
{\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=f(a_{1},a_{2},...,a_{n})+{\frac {\mathrm {d} f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{1!}}+{\frac {\mathrm {d} ^{2}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{2!}}+...+{\frac {\mathrm {d} ^{n}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{n!}}+R_{n+1}^{f,a}}
kde funkci
R
n
+
1
f
,
a
{\displaystyle R_{n+1}^{f,a}}
n -tým členem, lze vyjádřit ve tvaru
R
n
+
1
f
,
a
=
d
n
+
1
f
(
a
1
+
Θ
(
x
1
−
a
1
)
,
a
2
+
Θ
(
x
2
−
a
2
)
,
.
.
.
,
a
n
+
Θ
(
x
n
−
a
n
)
)
(
n
+
1
)
!
{\displaystyle R_{n+1}^{f,a}={\frac {\mathrm {d} ^{n+1}f(a_{1}+\Theta (x_{1}-a_{1}),a_{2}+\Theta (x_{2}-a_{2}),...,a_{n}+\Theta (x_{n}-a_{n}))}{(n+1)!}}}
pro
Θ
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle \Theta \in (0,1)}
Maclaurinova řada Pro
a
=
0
{\displaystyle a=0}
řadu Maclaurinovu , tedy
f
(
x
)
=
f
(
0
)
+
∑
n
=
1
∞
f
(
n
)
(
0
)
n
!
x
n
{\displaystyle f(x)=f(0)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}}
Maclaurinovy řady běžných funkcí Maclaurinova řada polynomu je tentýž polynom.
aproximovanou hodnotu funkce
e
x
{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
n členů Taylorova rozvoje, čímž získáme Taylorův polynom stupně n-1 Taylorův rozvoj:
e
x
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
⋯
=
∑
i
=
0
∞
x
i
i
!
pro
x
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{i}}{i!}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-\infty ,\infty )}
aproximovaná hodnota funkce:
e
x
≈
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
⋯
+
x
n
(
n
)
!
.
{\displaystyle {\textrm {e}}^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{(n)!}}.}
1
1
−
x
=
1
+
x
+
x
2
+
x
3
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
n
pro
x
∈
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-1,1)}
(
1
+
x
)
r
=
1
+
(
r
1
)
x
+
(
r
2
)
x
2
+
(
r
3
)
x
3
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
r
n
)
x
n
pro
r
∈
R
,
x
∈
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle {(1+x)}^{r}=1+{r \choose 1}x+{r \choose 2}x^{2}+{r \choose 3}x^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{r \choose n}x^{n}\;{\mbox{ pro }}r\in \mathbb {R} ,x\in (-1,1)}
(
r
n
)
=
∏
k
=
1
n
r
−
k
+
1
k
=
r
⋅
(
r
−
1
)
⋅
⋅
⋅
(
r
−
n
+
1
)
n
!
{\displaystyle {\binom {r}{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {r-k+1}{k}}={\frac {r\cdot (r-1)\cdot \cdot \cdot (r-n+1)}{n!}}}
ln
(
1
+
x
)
=
x
−
x
2
2
+
x
3
3
−
x
4
4
+
x
5
5
−
⋯
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
x
n
n
pro
x
∈
(
−
1
,
1
⟩
{\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-1,1\rangle }
a
x
=
1
+
x
ln
a
1
!
+
x
2
ln
2
a
2
!
+
x
3
ln
3
a
3
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
x
ln
a
)
n
n
!
pro
a
>
0
,
x
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle a^{x}=1+{\frac {x\ln a}{1!}}+{\frac {x^{2}\ln ^{2}a}{2!}}+{\frac {x^{3}\ln ^{3}a}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(x\ln a)}^{n}}{n!}}\;{\mbox{ pro }}a>0,x\in (-\infty ,\infty )}
ln
1
+
x
1
−
x
=
2
[
x
+
x
3
3
+
x
5
5
+
x
7
7
+
⋯
]
=
2
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
2
n
+
1
x
∈
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle \ln {\frac {1+x}{1-x}}=2\left[x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \right]=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\;x\in (-1,1)}
Goniometrické funkce :
sin
x
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
pro
x
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-\infty ,\infty )}
cos
x
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
x
6
6
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
pro
x
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-\infty ,\infty )}
tg
x
=
x
+
1
3
x
3
+
2
15
x
5
+
17
315
x
7
+
⋯
pro
x
∈
(
−
π
2
,
π
2
)
{\displaystyle \operatorname {tg} \,x=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots \;{\mbox{ pro }}x\in (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}
cotg
x
=
1
x
−
1
3
x
−
1
45
x
3
−
2
945
x
5
−
⋯
pro
x
∈
(
0
,
π
)
{\displaystyle \operatorname {cotg} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-\cdots \;{\mbox{ pro }}x\in (0,\pi )}
Cyklometrické funkce :
arcsin
x
=
x
+
1
2
x
3
3
+
1
2
3
4
x
5
5
+
1
2
3
4
5
6
x
7
7
+
⋯
=
x
+
∑
n
=
1
∞
(
2
n
−
1
)
!
!
(
2
n
)
!
!
x
2
n
+
1
2
n
+
1
pro
x
∈
⟨
−
1
,
1
⟩
{\displaystyle \operatorname {arcsin} \,x=x+{\frac {1}{2}}{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}{\frac {5}{6}}{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\;{\mbox{ pro }}x\in \langle -1,1\rangle }
arccos
x
=
π
2
−
arcsin
x
=
π
2
−
x
−
1
2
x
3
3
−
1
2
3
4
x
5
5
−
1
2
3
4
5
6
x
7
7
+
⋯
=
π
2
−
x
−
∑
n
=
1
∞
(
2
n
−
1
)
!
!
(
2
n
)
!
!
x
2
n
+
1
2
n
+
1
pro
x
∈
⟨
−
1
,
1
⟩
{\displaystyle \operatorname {arccos} \,x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin \,x={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {1}{2}}{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}{\frac {5}{6}}{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{2}}-x-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\;{\mbox{ pro }}x\in \langle -1,1\rangle }
arctg
x
=
x
−
x
3
3
+
x
5
5
−
x
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
2
n
+
1
pro
x
∈
⟨
−
1
,
1
⟩
{\displaystyle \operatorname {arctg} \,x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\;{\mbox{ pro }}x\in \langle -1,1\rangle }
Hyperbolické funkce :
sinh
x
=
x
+
x
3
3
!
+
x
5
5
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
pro
x
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-\infty ,\infty )}
cosh
x
=
1
+
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
(
2
n
)
!
pro
x
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-\infty ,\infty )}
tanh
x
=
x
−
1
3
x
3
+
2
15
x
5
−
17
135
x
7
+
⋅
⋅
⋅
pro
x
∈
(
−
π
2
,
π
2
)
{\displaystyle \tanh \,x=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}-{\frac {17}{135}}x^{7}+\cdot \cdot \cdot \;{\mbox{ pro }}x\in {\Bigl (}-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}{\Bigr )}}
Hyperbolometrické funkce :
arsinh
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
4
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
pro
x
∈
⟨
−
1
,
1
⟩
{\displaystyle \operatorname {arsinh} \,x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\;{\mbox{ pro }}x\in \langle -1,1\rangle }
artanh
x
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
2
n
+
1
pro
x
∈
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle \operatorname {artanh} \,x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-1,1)}
Výpočet Taylorova polynomu Pro výpočet Taylorova polynomu složitějších funkcí se používá několik metod. Dá se počítat přímo z definice, což ale vyžaduje výpočet derivací vyšších řádů, které mohou být složité. Častěji se používá substituce, násobení, dělení, sčítání nebo odčítání Taylorových polynomů známých funkcí.
První příklad Chceme spočítat Taylorův polynom řádu 7 v bodě 0 funkce
f
(
x
)
=
log
(
cos
(
x
)
)
{\displaystyle f(x)=\log(\cos(x))}
f
(
x
)
=
log
(
1
+
(
cos
(
x
)
−
1
)
)
.
{\displaystyle f(x)=\log(1+(\cos(x)-1)).}
Taylorův polynom přirozeného logaritmu je
log
(
1
+
x
)
=
x
−
x
2
2
+
x
3
3
+
O
(
x
4
)
{\displaystyle \log(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+O(x^{4})}
cos
(
x
)
−
1
=
−
x
2
2
+
x
4
24
−
x
6
720
+
O
(
x
8
)
{\displaystyle \cos(x)-1=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}+O(x^{8})}
Landauovu notaci ).
Nyní použijeme substituci vnitřní funkce a vynecháme členy stupně vyššího než 7 díky použití notace velké O:
f
(
x
)
=
log
(
1
+
(
cos
x
−
1
)
)
=
(
cos
x
−
1
)
−
1
2
(
cos
x
−
1
)
2
+
1
3
(
cos
x
−
1
)
3
+
O
(
(
cos
x
−
1
)
4
)
=
(
−
x
2
2
+
x
4
24
−
x
6
720
+
O
(
x
8
)
)
−
1
2
(
−
x
2
2
+
x
4
24
+
O
(
x
6
)
)
2
+
1
3
(
−
x
2
2
+
O
(
x
4
)
)
3
+
O
(
x
8
)
=
{\displaystyle f(x)=\log(1+(\cos \,x-1))=(\cos \,x-1)-{\frac {1}{2}}(\cos \,x-1)^{2}+{\frac {1}{3}}(\cos \,x-1)^{3}+O((\cos \,x-1)^{4})={\Bigl (}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}+O(x^{8}){\Bigr )}-{\frac {1}{2}}{\Bigl (}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}+O(x^{6}){\Bigr )}^{2}+{\frac {1}{3}}{\Bigl (}-{\frac {x^{2}}{2}}+O(x^{4}){\Bigr )}^{3}+O(x^{8})=}
=
−
x
2
2
+
x
4
24
−
x
6
720
x
4
8
+
x
6
48
−
x
6
24
+
O
(
x
8
)
=
−
x
2
2
−
x
4
12
−
x
8
45
+
O
(
x
8
)
{\displaystyle =-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}{\frac {x^{4}}{8}}+{\frac {x^{6}}{48}}-{\frac {x^{6}}{24}}+O(x^{8})=-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{12}}-{\frac {x^{8}}{45}}+O(x^{8})}
Na závěr si můžeme všimnout, že koeficienty u
x
,
x
3
,
x
5
,
x
7
,
⋅
⋅
⋅
{\displaystyle x,x^{3},x^{5},x^{7},\cdot \cdot \cdot }
Druhý příklad Chceme spočítat Taylorův polynom funkce
g
(
x
)
e
x
cos
x
{\displaystyle g(x){\frac {e^{x}}{\cos \,x}}}
Máme známé Taylorovy polynomy:
e
x
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
x
4
4
!
+
O
(
x
4
)
{\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+O(x^{4})}
cos
x
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
O
(
x
4
)
{\displaystyle \cos \,x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+O(x^{4})}
metodu neurčitých koeficientů .
Předpokládejme, že platí
e
x
cos
x
=
c
0
+
c
1
x
+
c
2
x
2
+
c
3
x
3
+
c
4
x
4
+
⋅
⋅
⋅
{\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos \,x}}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdot \cdot \cdot }
e
x
=
(
c
0
+
c
1
x
+
c
2
x
2
+
c
3
x
3
+
c
4
x
4
)
cos
x
=
(
c
0
+
c
1
x
+
c
2
x
2
+
c
3
x
3
+
c
4
x
4
)
(
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
O
(
x
4
)
)
=
c
0
−
c
0
2
x
2
+
c
0
4
!
x
4
+
c
1
x
−
c
1
2
x
3
+
c
1
4
!
x
5
+
c
2
x
−
c
2
2
x
4
+
c
2
4
!
x
6
+
c
3
x
3
−
c
3
2
x
5
+
c
3
4
!
x
7
+
O
(
x
4
)
{\displaystyle e^{x}=(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4})\cos \,x=(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}){\Bigl (}1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+O(x^{4}){\Bigr )}=c_{0}-{\frac {c_{0}}{2}}x^{2}+{\frac {c_{0}}{4!}}x^{4}+c_{1}x-{\frac {c_{1}}{2}}x^{3}+{\frac {c_{1}}{4!}}x^{5}+c_{2}x-{\frac {c_{2}}{2}}x^{4}+{\frac {c_{2}}{4!}}x^{6}+c_{3}x^{3}-{\frac {c_{3}}{2}}x^{5}+{\frac {c_{3}}{4!}}x^{7}+O(x^{4})}
Dáme k sobě koeficienty u stejných mocnin
=
c
0
+
c
1
x
+
(
c
2
−
c
0
2
)
x
2
+
(
c
3
−
c
1
2
)
x
3
+
(
c
4
−
c
2
2
+
c
0
4
!
)
x
4
+
O
(
x
4
)
{\displaystyle =c_{0}+c_{1}x+{\Bigl (}c_{2}-{\frac {c_{0}}{2}}{\Bigr )}x^{2}+{\Bigl (}c_{3}-{\frac {c_{1}}{2}}{\Bigr )}x^{3}+{\Bigl (}c_{4}-{\frac {c_{2}}{2}}+{\frac {c_{0}}{4!}}{\Bigr )}x^{4}+O(x^{4})}
Porovnáním s koeficienty Taylorova polynomu exponenciální funkce dostáváme řešení
e
x
cos
x
=
1
−
x
+
x
2
+
2
3
x
3
+
x
4
2
+
O
(
x
4
)
{\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos \,x}}=1-x+x^{2}+{\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {x^{4}}{2}}+O(x^{4})}
Odkazy Reference V tomto článku byly použity překlady textů z článku Taylor series
Související články Literatura Rektorys Karel a kol.: Přehled užité matematiky I. . Prometheus, Praha, 2003 , 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5
Tkadlec Josef: Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné . Nakladatelství ČVUT, Praha 2004 , 1. vydání. ISBN 80-01-03039-3
Krbálek Milan: Matematická analýza III . Nakladatelství ČVUT, Praha 2008 , 2. vydání. Externí odkazy 
![{\displaystyle A=[a_{1},a_{2},...,a_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1419c9993aed4ceb8be8a39f870ab6ef0d160d3)
![{\displaystyle \ln {\frac {1+x}{1-x}}=2\left[x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \right]=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\;x\in (-1,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9edeb8563003d1cc6795f1e4d6a0c6c945629e9e)
