Potenční množina

Potenční množina množiny $X\,\!$ (značí se ${\mathcal {P}}(X)\,\!$ nebo též $2^{X}\,\!$) je taková množina, která obsahuje všechny podmnožiny množiny $X\,\!$.

Formálně vyplývá existence potenční množiny k libovolné množině z axiomu potenční množiny.

Příklad

• $A=\{1,2,3\}\,\!$
• ${\mathcal {P}}(A)=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}\,\!$

Vlastnosti

Každá potenční množina obsahuje jako svůj prvek prázdnou množinu, tj.
$(\forall X)(\emptyset \in {\mathcal {P}}(X))\,\!$

Potenční množina množiny $X\,\!$ obsahuje $X\,\!$ jako svůj prvek, tj.
$(\forall X)(X\in {\mathcal {P}}(X))\,\!$

Na potenční množině je přirozeným způsobem definováno uspořádání pomocí relace „být podmnožinou“ $\subseteq \,\!$. Toto uspořádání není lineární - například množiny $\{1,3\}\,\!$ a $\{2,3\}\,\!$ z předchozího příkladu jsou neporovnatelné. Potenční množina spolu s tímto uspořádáním tvoří strukturu nazývanou potenční algebra, která má řadu zajímavých vlastností - jedná se například o úplný svaz.

Mohutnost potenční množiny

• Pokud je $X\,\!$ konečná množina a její mohutnost je $|X|=n\,\!$, pak mohutnost její potenční množiny je $|{\mathcal {P}}(X)|=2^{n}\,\!$.
• Pro nekonečné množiny platí podle Cantorovy věty, že mohutnost ${\mathcal {P}}(X)\,\!$ je ostře větší, než mohutnost $X\,\!$. Z toho mimo jiné vyplývá, že škála mohutností nekonečných množin je nekonečná, protože mohutnost ${\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X))\,\!$ je ostře větší, než mohutnost ${\mathcal {P}}(X)\,\!$ atd.

Související články

• Axiom potenční množiny
• Potenční algebra
• Filtr
• Svaz

Portály: Matematika