Komplexní analýza: Porovnání verzí
překlad anglické verze |
Opravy |
||
Řádek 7: | Řádek 7: | ||
[[Murray R. Spiegel]] napsal, že komplexní analýza je "jeden z nejhezčích a nejužitečnějších oborů matematiky". |
[[Murray R. Spiegel]] napsal, že komplexní analýza je "jeden z nejhezčích a nejužitečnějších oborů matematiky". |
||
Komplexní analýza se nejvíc zabývá [[analytická funkce|analytickými funkcemi]] komplexních proměnných (nebo |
Komplexní analýza se nejvíc zabývá [[analytická funkce|analytickými funkcemi]] komplexních proměnných (nebo obecněji [[meromorfní funkce|meromorfními funkcemi]]). Protože separátní [[reálné číslo|reálná]] a [[imaginární číslo|imaginární]] části každé analytické funkce musí splňovat [[Laplaceova rovnice|Laplaceovu rovnici]], komplexní analýza je široko aplikovatelná na dvoudimenzionální problémy ve [[fyzika|fyzice]]. |
||
== Historie == |
== Historie == |
||
[[Image:Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|right|300px|thumb|[[Mandelbrotova množina]], '''[[fraktál]]'''.]] |
[[Image:Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|right|300px|thumb|[[Mandelbrotova množina]], '''[[fraktál]]'''.]] |
||
Komplexní analýza je jeden z komplexních oborů matematiky s kořeny v 19. století i dříve. Zabývali se ní známí matematici jako [[Euler]], [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], [[Bernhard Riemann]], [[Cauchy]], [[Weierstrass]] a mnoho dalších v 20. století. Komplexní analýza, zejména teorie [[konformní zobrazení|konformních zobrazení]] má mnoho fyzikálních aplikací a používá se i v [[analytická teorie čísel|analytické teorii čísel]]. V současnosti se stala velmi populární díky novým podnětům z [[komplexní dynamika|komplexní dynamiky]] a díky obrázkům [[fraktál]]ů produkovaných iterací [[ |
Komplexní analýza je jeden z komplexních oborů matematiky s kořeny v 19. století i dříve. Zabývali se ní známí matematici jako [[Euler]], [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], [[Bernhard Riemann]], [[Cauchy]], [[Weierstrass]] a mnoho dalších v 20. století. Komplexní analýza, zejména teorie [[konformní zobrazení|konformních zobrazení]] má mnoho fyzikálních aplikací a používá se i v [[analytická teorie čísel|analytické teorii čísel]]. V současnosti se stala velmi populární díky novým podnětům z [[komplexní dynamika|komplexní dynamiky]] a díky obrázkům [[fraktál]]ů produkovaných iterací [[holomorfní funkce|holomorfních funkcí]]. Další důležitá aplikace komplexní analýzy je v [[teorie strun|teorii strun]], která studuje konformní invarianty v [[teorie kvantového pole|teorii kvantového pole]]. |
||
== Komplexní funkce == |
== Komplexní funkce == |
||
Komplexní funkce je [[funkce (matematika)]], kde [[nezávislá proměnná]] i [[závislá proměnná]] jsou obě komplexní čísla. Přesněji, komplexní funkce je funkce, u které [[definiční obor]] i [[obor hodnot]] jsou [[podmnožina|podmnožiny]] [[komplexní rovina|komplexní roviny]]. |
Komplexní funkce je [[funkce (matematika)]], kde [[nezávislá proměnná]] i [[závislá proměnná]] jsou obě komplexní čísla. Přesněji, komplexní funkce je funkce, u které [[definiční obor]] i [[obor hodnot]] jsou [[podmnožina|podmnožiny]] [[komplexní rovina|komplexní roviny]]. |
||
Pro každou komplexní funkci nezávislá proměnná i závislá proměnná mohou být separovány na [[reálné číslo| |
Pro každou komplexní funkci nezávislá proměnná i závislá proměnná mohou být separovány na [[reálné číslo|reálnou]] a [[imaginární číslo|imaginární]] části: |
||
: <math>z = x + iy\,</math> a |
: <math>z = x + iy\,</math> a |
||
Řádek 27: | Řádek 27: | ||
: <math>v = v(x,y),\,</math> |
: <math>v = v(x,y),\,</math> |
||
lze interpretovat jako reálné funkce dvou |
lze interpretovat jako reálné funkce dvou reálných proměnných, ''x'' a ''y''. |
||
Základní koncepty komplexní analýzy se často představují rozšířením elementárních [[reálná funkce| |
Základní koncepty komplexní analýzy se často představují rozšířením elementárních [[reálná funkce|reálných funkcí]] (např. [[exponenciální funkce]], [[logaritmická funkce]] a [[trigonometrická funkce]]) do komplexní domény. |
||
== |
== Holomorfní funkce == |
||
[[ |
[[holomorfní funkce]] jsou komplexní funkce definované na [[otevřená množina|otevřené podmožině]] komplexní roviny, které jsou [[diferencovatelná funkce|diferencovatelné]]. Komplexní diferencovatelnost má mnohem větší důsledky jako obvyklá (reálná) diferencovatelnost. |
||
==Zdroj== |
==Zdroj== |
Verze z 25. 1. 2014, 16:02
Komplexní analýza, tradičně známá jako teorie funkcí komplexní proměnné, je obor matematické analýzy, který zkoumá funkce komplexních čísel. Je užitečná v mnoha odvětvích matematiky, včetně oborů jako algebraická geometrie, teorie čísel, aplikovaná matematika; ale i ve fyzice, např. v oborech jako hydrodynamika, termodynamika, mechanické inženýrství a elektrotechnika.
Murray R. Spiegel napsal, že komplexní analýza je "jeden z nejhezčích a nejužitečnějších oborů matematiky".
Komplexní analýza se nejvíc zabývá analytickými funkcemi komplexních proměnných (nebo obecněji meromorfními funkcemi). Protože separátní reálná a imaginární části každé analytické funkce musí splňovat Laplaceovu rovnici, komplexní analýza je široko aplikovatelná na dvoudimenzionální problémy ve fyzice.
Historie
Komplexní analýza je jeden z komplexních oborů matematiky s kořeny v 19. století i dříve. Zabývali se ní známí matematici jako Euler, Gauss, Bernhard Riemann, Cauchy, Weierstrass a mnoho dalších v 20. století. Komplexní analýza, zejména teorie konformních zobrazení má mnoho fyzikálních aplikací a používá se i v analytické teorii čísel. V současnosti se stala velmi populární díky novým podnětům z komplexní dynamiky a díky obrázkům fraktálů produkovaných iterací holomorfních funkcí. Další důležitá aplikace komplexní analýzy je v teorii strun, která studuje konformní invarianty v teorii kvantového pole.
Komplexní funkce
Komplexní funkce je funkce (matematika), kde nezávislá proměnná i závislá proměnná jsou obě komplexní čísla. Přesněji, komplexní funkce je funkce, u které definiční obor i obor hodnot jsou podmnožiny komplexní roviny.
Pro každou komplexní funkci nezávislá proměnná i závislá proměnná mohou být separovány na reálnou a imaginární části:
- a
- kde a jsou funkce s reálnými hodnotami.
Jinými slovy, složky funkce f(z),
- a
lze interpretovat jako reálné funkce dvou reálných proměnných, x a y.
Základní koncepty komplexní analýzy se často představují rozšířením elementárních reálných funkcí (např. exponenciální funkce, logaritmická funkce a trigonometrická funkce) do komplexní domény.
Holomorfní funkce
holomorfní funkce jsou komplexní funkce definované na otevřené podmožině komplexní roviny, které jsou diferencovatelné. Komplexní diferencovatelnost má mnohem větší důsledky jako obvyklá (reálná) diferencovatelnost.
Zdroj
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Complex analysis na anglické Wikipedii.