Moment setrvačnosti

Moment setrvačnosti je fyzikální veličina, která vyjadřuje míru setrvačnosti tělesa při otáčivém pohybu. Její velikost závisí na rozložení hmoty v tělese vzhledem k ose otáčení. Body (části) tělesa s větší hmotností a umístěné dál od osy mají větší moment setrvačnosti.

Značení

• Symbol veličiny: J , někdy také I
• Jednotka SI: kilogram krát metr na druhou, značka jednotky: kg.m²

Výpočet

Diskrétní rozložení hmoty

Při otáčivém pohybu soustavy hmotných bodů kolem nehybné osy opisují jednotlivé hmotné body kružnice, jejichž středy leží na ose otáčení. Úhlová rychlost $\omega$ všech bodů je stejná.

Celkovou kinetickou energii určíme jako součet kinetických energií všech $n$ hmotných bodů soustavy, tzn.

$E_{k}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}m_{i}r_{i}^{2}\omega ^{2}$,

kde $m_{i}$ je hmotnost $i$-tého hmotného bodu, $v_{i}$ je velikost jeho rychlosti, $r_{i}$ je jeho (kolmá) vzdálenost od osy otáčení a bylo využito toho, že rychlost bodu při kruhovém pohybu je přímo úměrná vzdálenosti bodu od osy otáčení, tzn. $v=\omega r$. Předchozí vztah lze upravit na tvar

$E_{k}={\frac {1}{2}}\omega ^{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2}={\frac {1}{2}}J\omega ^{2}$,

kde veličina $J$ představuje moment setrvačnosti tělesa k ose otáčení. Moment setrvačnosti soustavy hmotných bodů je tak definován vztahem

$J=m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}+\cdots +m_{n}r_{n}^{2}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2}$

Spojité rozložení hmoty

V mechanice kontinua (tedy v případě spojitě rozložené hmoty) lze k určení momentu setrvačnosti použít vztah

$I=\int _{M}r^{2}\mathrm {d} m$,

kde integrace se provádí přes celé těleso o celkové hmotnosti $M$.

Je-li $\rho$ hustota tělesa, pak $\mathrm {d} m=\rho \mathrm {d} V$, kde $V$ je objem tělesa a moment setrvačnosti lze vyjádřit ve tvaru

$I=\int _{V}r^{2}\rho \mathrm {d} V$

Integruje se přes objem celého tělesa $V$.

V případě, že je těleso homogenní, tzn. $\rho ={\mbox{konst.}}$, je možné předchozí vztah zjednodušit

$I=\rho \int _{V}r^{2}\mathrm {d} V$

Poloměr setrvačnosti

Moment setrvačnosti je také možné zapsat jako součin celkové hmotnosti tělesa $M$ a čtverce jisté střední vzdálenosti $R$, ve které by musela být soustředěna veškerá hmotnost tělesa, aby moment setrvačnosti byl roven momentu celého tělesa.

$J=MR^{2}$

Vzdálenost $R={\sqrt {\frac {J}{M}}}$ se nazývá poloměr setrvačnosti nebo gyrační poloměr.

Momenty setrvačnosti některých těles

Pro praktické použití je vhodná znalost některých často používaných momentů setrvačnosti.

• Moment setrvačnosti tyče délky $l$ a hmotnosti $m$ vzhledem k ose procházející středem tyče kolmo k její délce

$J={\frac {1}{12}}ml^{2}$

• Moment setrvačnosti tyče délky $l$ a hmotnosti $m$ vzhledem k ose procházející koncem tyče kolmo k její délce

$J={\frac {1}{3}}ml^{2}$

• Moment setrvačnosti koule o poloměru $r$ a hmotnosti $m$ vzhledem k ose procházející středem koule.

$J={\frac {2}{5}}mr^{2}$

• Moment setrvačnosti plného válce o poloměru $r$ a hmotnosti $m$ vzhledem k ose souměrnosti.

$J={\frac {1}{2}}mr^{2}$

• Moment setrvačnosti tlustostěnného pláště válce o vnitřním poloměru $r_{1}$ a vnějším poloměru $r_{2}$ a hmotnosti $m$ vzhledem k ose souměrnosti.

$J={\frac {1}{2}}m\left(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\right)$

• Moment setrvačnosti tenké obruče o poloměru $r$ a hmotnosti $m$ vzhledem k ose otáčení.

$J=mr^{2}$

Steinerova věta

Související informace naleznete také v článku Steinerova věta.

Moment setrvačnosti vzhledem k ose procházející mimo těžiště tělesa lze určit podle Steinerovy věty jako součet momentu setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose procházející těžištěm a součinu hmotnosti a čtverce vzdálenosti od těžiště, tzn.

$J=J_{0}+mr_{T}^{2}$,

kde $J_{0}$ je moment setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose jdoucí těžištěm tělesa, $m$ je hmotnost tělesa a $r_{T}$ je kolmá vzdálenost těžiště od osy otáčení.

Tenzor setrvačnosti

Otáčí-li se soustava hmotných bodů kolem libovolné osy $S$ úhlovou rychlostí $\mathbf {\omega }$, má kinetická energie tohoto rotačního pohybu hodnotu

$E_{k}={\frac {1}{2}}J_{S}\omega ^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}v_{i}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}{|\mathbf {\omega } \times \mathbf {r} _{i}|}^{2}$,

kde $J_{S}$ je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose $S$, $v_{i}$ je rychlost $i$-tého hmotného bodu soustavy, a $\mathbf {r} _{i}$ je polohový vektor $i$-tého hmotného bodu vzhledem k počátku zvolené soustavy souřadnic, kterým prochází osa $S$.

Vektor $\mathbf {\omega }$, který směřuje podél osy $S$ lze vyjádřit prostřednictvím jeho složek $\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z}$ vzhledem k souřadnicovým osám $x,y,z$. Předchozí vztah je pak možno rozepsat do tvaru

$E_{k}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[{\left(\omega _{y}z_{i}-\omega _{z}y_{i}\right)}^{2}+{\left(\omega _{z}x_{i}-\omega _{x}z_{i}\right)}^{2}+{\left(\omega _{x}y_{i}-\omega _{y}x_{i}\right)}^{2}\right]$

a rozepíšeme-li v tomto výrazu jednotlivé mocniny, dostaneme po úpravě

$2E_{k}=\omega _{x}^{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(y_{i}^{2}+z_{i}^{2}\right)+\omega _{y}^{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(z_{i}^{2}+x_{i}^{2}\right)+\omega _{z}^{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right)-2\omega _{x}\omega _{y}\sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i}y_{i}-2\omega _{y}\omega _{z}\sum _{i=1}^{n}m_{i}y_{i}z_{i}-2\omega _{z}\omega _{x}\sum _{i=1}^{n}m_{i}z_{i}x_{i}$

Pro kinetickou energii pak dostáváme výraz

$E_{k}={\frac {1}{2}}\omega _{x}^{2}J_{x}+{\frac {1}{2}}\omega _{y}^{2}J_{y}+{\frac {1}{2}}\omega _{z}^{2}J_{z}-\omega _{x}\omega _{y}D_{xy}-\omega _{y}\omega _{z}D_{yz}-\omega _{z}\omega _{x}D_{zx}$,

kde

$J_{x}=\sum _{i=1}^{n}\left(y_{i}^{2}+z_{i}^{2}\right)m_{i}$

$J_{y}=\sum _{i=1}^{n}\left(z_{i}^{2}+x_{i}^{2}\right)m_{i}$

$J_{z}=\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right)m_{i}$

jsou momenty setrvačnosti vzhledem k souřadnicovým osám $x,y,z$ a

$D_{xy}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}m_{i}$

$D_{yz}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}z_{i}m_{i}$

$D_{zx}=\sum _{i=1}^{n}z_{i}x_{i}m_{i}$

jsou deviační momenty.

Předchozí vztahy platí pro těleso popsané soustavou hmotných bodů. Považujeme-li hmotu v tělese za spojitě rozloženou, přejdeme od sumace k integraci a pro momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám dostaneme

$J_{x}=\int _{M}(y^{2}+z^{2})\mathrm {d} m$

$J_{y}=\int _{M}(z^{2}+x^{2})\mathrm {d} m$

$J_{z}=\int _{M}(x^{2}+y^{2})\mathrm {d} m$

Pro deviační momenty získáme podobně vztahy

$D_{xy}=\int _{M}xy\mathrm {d} m$

$D_{yz}=\int _{M}yz\mathrm {d} m$

$D_{zx}=\int _{M}zx\mathrm {d} m$

Vektor $\mathbf {\omega }$, který leží v ose $S$ je možné využít k získání směrových kosinů rotační osy, tzn. $\cos \alpha ={\frac {\omega _{x}}{\omega }},\cos \beta ={\frac {\omega _{y}}{\omega }},\cos \gamma ={\frac {\omega _{z}}{\omega }}$, kde $\omega$ je velikost vektoru $\mathbf {\omega }$. Po dosazení do výrazů pro kinetickou energii a po úpravě dostaneme výraz pro výpočet momentu setrvačnosti $J_{S}$ vzhledem k ose, která svírá se souřadnicovými osami $x,y,z$ úhly $\alpha ,\beta ,\gamma$

$J_{S}=J_{x}\cos ^{2}\alpha +J_{y}\cos ^{2}\beta +J_{z}\cos ^{2}\gamma -2D_{yz}\cos \beta \cos \gamma -2D_{zx}\cos \gamma \cos \alpha -2D_{xy}\cos \alpha \cos \beta$

Změní-li se směr osy $S$ vzhledem k tělesu, změní se také velikost momentu setrvačnosti $J_{S}$. Toto rozložení charakterizuje elipsoid setrvačnosti.

Momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám a deviační momenty lze uspořádat do tzv. tenzoru setrvačnosti:

${\mathbf {J} }=\int {\left({\mathbf {E} }r^{2}-r\otimes r\right)\,dm}=\int {\left[{\begin{matrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\-xy&x^{2}+z^{2}&-yz\\-xz&-yz&x^{2}+y^{2}\end{matrix}}\right]dm}$,

kde symbol $\otimes$ představuje tenzorový součin, jehož výsledkem je symetrická čtvercová matice.

Plošný moment setrvačnosti

Moment setrvačnosti můžeme určovat nejenom k ose, ale také k rovině, kdy mluvíme o plošném momentu setrvačnosti.

U plošného momentu setrvačnosti se obvykle jedná o moment rovinné plochy. Pro výpočet můžeme použít vztahy pro výpočet momentu setrvačnosti k ose, přičemž položíme $z=0$. Hmotnostní element $\mathrm {d} m$ je pak $\sigma \mathrm {d} S$, kde $\sigma$ je plošná hustota zkoumané plochy (obecně závislá na $x$ a $y$).

Plošné momenty setrvačnosti k osám $x,y$ jsou tedy

$J_{x}=\int _{S}y^{2}\sigma \mathrm {d} S$

$J_{y}=\int _{S}x^{2}\sigma \mathrm {d} S$

Z deviačních momentů je nenulový pouze

$D_{xy}=\int _{S}xy\sigma \mathrm {d} S$

Pokud je plocha homogenní (plošná hustota je konstantní), můžeme ji vytknout před integrál a vztahy se zjednoduší na

$J_{x}=\sigma \int _{S}y^{2}\mathrm {d} S$

$J_{y}=\sigma \int _{S}x^{2}\mathrm {d} S$

$D_{xy}=\sigma \int _{S}xy\mathrm {d} S$

Namísto elipsoidu setrvačnosti dostáváme elipsu setrvačnosti.

Položíme-li do těžiště tělesa počátek pravoúhlé soustavy souřadnic, potom momenty setrvačnosti ke třem vzájemně kolmým rovinám, proloženým souřadnicovými osami, jsou

$J_{xy}=\int _{M}z^{2}\mathrm {d} m$

$J_{yz}=\int _{M}x^{2}\mathrm {d} m$

$J_{zx}=\int _{M}y^{2}\mathrm {d} m$

Srovnáním s momenty setrvačnosti k osám $x,y,z$ pak platí

$J_{x}=J_{xy}+J_{zx}$

$J_{y}=J_{xy}+J_{yz}$

$J_{z}=J_{yz}+J_{zx}$

Polární moment setrvačnosti

Moment setrvačnosti můžeme určovat nejenom k ose, ale také k bodu, kdy se jedná o tzv. polární moment setrvačnosti.

Polární moment setrvačnosti části rovinné plochy (vzhledem k počátku souřadné soustavy $[0,0]$) je

$J_{p}=J_{x}+J_{y}=\int _{S}(x^{2}+y^{2})\sigma \mathrm {d} S=\int _{S}r^{2}\sigma \mathrm {d} S$

Související články

• Mechanika
• Mechanika tuhého tělesa
• Steinerova věta

Literatura

• Jozef Kvasnica, Antonín Havránek, Pavel Lukáč, Boris Sprušil Mechanika, Nakladatel: Academia, ISBN 80-200-1268-0, EAN 9788020012685, Rok vydání: 2004 (2. vydání)
• Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).
• Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9
• Symon KR. (1971) Mechanics, 3rd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7