Konstantní funkce

Graf konstantní funkce y(x)=0

V matematice se pojmem konstantní funkce označuje taková funkce, jejíž funkční hodnota je v celém definičním oboru stejná, tedy konstantní. Například funkce f(x) = 4 je konstantní.

Definice

Funkce $f:A\rightarrow B$ je konstantní, pokud

$\forall x,y\in A\;:f(x)=f(y)$

nebo ekvivalentně

$(A=B=\emptyset )\lor (\exists y\in B\;\forall x\in A\;:f(x)=y).$

Vlastnosti

• pro $B\neq \emptyset$ a libovolné $A$ vždy nějaká konstantní funkce $f:A\to B$ existuje
• grafem reálné konstantní funkce definované pro všechna reálná čísla je přímka rovnoběžná s osou x
• je-li $f$ konstantní a $g$ libovolná funkce, jsou jejich složení $f\circ g$ jakož i $g\circ f$ rovněž funkce konstantní
• konstantní funkce (reálné i komplexní proměnné) má v každém vnitřním bodě definičního oboru derivaci rovnou nule
• funkce je neklesající a nerostoucí zároveň, právě když je konstantní
• v komplexním oboru je konstantní funkce je jediným typem celé funkce, která je omezená (Liouvilleova věta)
• primitivní funkce ke konstantní funkci na otevřeném intervalu reálných čísel je lineární funkce
  • příklad: $\int 4\,dx=4x+C$

Související články

• Monotónní funkce

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu konstantní funkce na Wikimedia Commons