Slaterův determinant

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

V kvantové mechanice je Slaterův determinant výraz, který popisuje vlnovou funkci multi-fermionového systému, který splňuje antisymetrický princip. Tento princip uvádí, že pro systém fermionů musí být vlnová funkce antisymetrická vzhledem k záměně všech (prostorových a spinových) souřadnic jednoho fermionu s jinými. Pauliho vylučovací princip je přímým důsledkem antisymetrického principu.

John C. Slater představil determinant jako prostředek k zajištění antisymetrie vlnové funkce v roce 1929 [1] a takovýto determinant tedy nese jeho jméno, i když se vlnová funkce ve tvaru determinantu už objevila nezávisle v článcích Heisenberga [2] a Diraca [3] před třemi lety.

Slaterův determinant vychází z vlnové funkce pro systém elektronů, kde každý má vlnovou funkci ve tvaru spinorbitalu, , kde označuje polohu a spin jednoho elektronu. Slaterův determinant obsahující dva elektrony se stejným spinorbitalem odpovídá vlnové funkci, která je všude nulová.

Antisymetrie[editovat | editovat zdroj]

Přestože nerelativistický hamiltonián nezahrnuje spin, musíme jej brát v úvahu. Důvodem je, aby elektronová vlnová funkce mohla splnit velmi důležitý požadavek, kterým je princip antisymetrie. Tento princip uvádí, že pro systém fermionů musí být vlnová funkce antisymetrická vzhledem k záměně všech (prostorových a spinových) souřadnic jednoho fermionu s jinými.

Pauliho vylučovací princip je přímým důsledkem antisymetrického principu. Pauliho vylučovací princip lze obecněji vyjádřit pro fermiony a bosony následovně: Celková vlnová funkce musí být antisymetrická při záměně libovolné dvojice identických fermionů a symetrická při záměně libovolné dvojice identických bosonů [4].

Matematicky záměnu můžeme definovat jako permutační operátor , což je operátor, který zaměňuje souřadnice elektronů a . Zápis Pauliho principu pro systém elektronů je

kde zahrnuje jak prostorové souřadnice, tak i spinovou funkci [5].

Řešení[editovat | editovat zdroj]

Dvou elektronový systém[editovat | editovat zdroj]

Aby vlnová funkce splňovala princip antisymetrie, pak například pro dvou elektronový systém musí mít tvar

kde je normalizační faktor. Uvedené řešení předcházející rovnice lze zapsat pomocí determinantu. V případě dvou elektronů můžeme přepsat funkční formu rovnice výše jako

Pokud se pokusíme dát současně dva elektrony do stejné orbity (tj. ), jsou dva sloupce determinantu stejné, a to odpovídá situaci, ve které jsou dva elektrony ve stejném stavu. Determinant je pak rovný nule

a pravděpodobnost tohoto stavu je taktéž nulová. Determinant splňuje Pauliho vylučovací princip, který je důsledkem antisymetrického principu.

Zobecnění[editovat | editovat zdroj]

Obecně můžeme pro elektronů zavést determinant ve tvaru

Všechny prvky v daném sloupci determinantu zahrnují stejný spin-orbital, zatímco prvky ve stejném řádku zahrnují stejný elektron. Vzhledem k tomu, že výměna řádků a sloupců neovlivňuje hodnotu determinantu, mohli bychom napsat determinant v jiné, ekvivalentní formě. Záměna dvou řádků tedy záměna dvou částic jen změní znaménko determinantu podle antisymetrického principu [6].

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. SLATER, J. C. The Theory of Complex Spectra. Physical Review [online]. 1929-11-15. Roč. 34, čís. 10, s. 1293–1322. DOI:10.1103/PhysRev.34.1293. 
  2. HEISENBERG, W. Mehrkörperproblem und Resonanz in der Quantenmechanik. Zeitschrift für Physik [online]. 1926-06. Roč. 38, čís. 6-7, s. 411–426. DOI:10.1007/BF01397160. 
  3. DIRAC, P. A. M. On the Theory of Quantum Mechanics. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences [online]. 1926-10-01. Roč. 112, čís. 762, s. 661–677. DOI:10.1098/rspa.1926.0133. 
  4. FRIEDMAN, Peter Atkins; Ronald. Molecular quantum mechanics. Oxford [u.a.]: Oxford Univ. Press, 2005. ISBN 0-19-927498-3. 
  5. CRAMER, Christopher J. Essentials of computational chemistry : theories and models. Chichester [u.a.]: Wiley, 2008. ISBN 0-470-09182-7. 
  6. LEVINE, Ira N. Quantum chemistry. Boston: Pearson, 2014. ISBN 0-321-80345-0.