Sigma aproximace

Animované srovnání aproximace čtvercového signálu Fourierovou řadou a sigma aproximací sigma (zeleně - špatně viditelné). Je vidět, že při aproximaci Fourierovou řadou se v okolí diskontinuit projevuje Gibbsův jev, zatímco σ-aproximace konverguje hladce.

σ-aproximace je v matematice úprava Fourierovy sumace, která značně omezuje Gibbsův jev projevující se oscilacemi v místě diskontinuit.

Součet řady s periodou T lze při použití σ-aproximace zapsat takto:

$s(\theta )={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{k=1}^{m-1}\operatorname {sinc} {\frac {k}{m}}\cdot \left[a_{k}\cos \left({\frac {2\pi k}{T}}\theta \right)+b_{k}\sin \left({\frac {2\pi k}{T}}\theta \right)\right],$

při vyjádření normalizovanou funkcí sinc

$\operatorname {sinc} x={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}.$

Člen

$\operatorname {sinc} {\frac {k}{m}}$

je Lanczosův σ-faktor, díky kterému je eliminována velká část Gibbsova jevu. Gibbsův jev není odstraněn úplně, ale použitím druhé nebo třetí mocniny výrazu jej lze ve většině extrémních případů výrazně utlumit.

Vysvětlení

Lanczosova myšlenka je utlumit Fourierovy koeficienty vysokého řádu, které způsobují lokální divergenci řady. Studuje tedy případy, kdy se derivace Fourierovy řady může lokálně výrazně měnit. Pro částečný součet funkce rozvinuté na Fourierovu řadu tvaru

$f_{m}(x)=\sum _{k=-(m-1)}^{m-1}c_{k}{\rm {e}}^{\mathrm {i} kx},$

definuje

$\rho _{m}(x)=\sum _{k=0}^{+\infty }c_{m+k}{\rm {e}}^{\mathrm {i} kx}.$

Pak lze zbytek Fourierovy řady zapsat ve tvaru

$R_{m}(x)=f(x)-f_{m}(x)={\rm {e}}^{\mathrm {i} mx}\rho _{m}(x)+{\rm {e}}^{-\mathrm {i} mx}\rho _{-m}(x).$

Lanczos si všiml, že v obecném případě má $\rho _{m}(x)$ tvar hladké nosné modulované vysokou frekvencí, takže derivace zbytku je

$R_{m}'(x)=\mathrm {i} m({\rm {e}}^{\mathrm {i} mx}\rho _{m}(x)-{\rm {e}}^{-\mathrm {i} mx}\rho _{-m}(x))+{\rm {e}}^{\mathrm {i} mx}\rho _{m}'(x)+{\rm {e}}^{-\mathrm {i} mx}\rho _{-m}'(x),$

což způsobuje, že při velkých hodnotách zbytek řady nekonverguje „dost rychle“. Proto definuje upravený diferenciální operátor:

$\mathrm {D} _{m}f(x)={\frac {f\left(x+{\frac {\pi }{m}}\right)-f\left(x-{\frac {\pi }{m}}\right)}{\frac {2\pi }{m}}},$

který dobře konverguje k operátoru derivace pro velká $m$, což dává

$\mathrm {D} _{m}R_{m}(x)=-{\rm {e}}^{\mathrm {i} mx}\mathrm {D} _{m}\rho _{m}(x)-{\rm {e}}^{-\mathrm {i} mx}\mathrm {D} _{m}\rho _{-m}(x),$

a funkce $\rho _{m}(x)$, $\rho _{-m}(x)$ jsou dostatečně hladké, takže hodnoty jejich derivací nemají velký vliv na chybu aproximace. Všimneme-li si, že

$\mathrm {D} _{m}({\rm {e}}^{\mathrm {i} kx})={\frac {\sin({\frac {\pi k}{m}})}{\frac {\pi }{m}}}\times \mathrm {i} k{\rm {e}}^{\mathrm {i} kx},$

vidíme, že použití tohoto diferenciálního operátoru odpovídá vynásobení Fourierových koeficientů faktorem σ.

Odkazy

Reference

V tomto článku byly použity překlady textů z článků σ-approximation na anglické Wikipedii a Sigma approximation na francouzské Wikipedii.

Související články

• Lanczosovo převzorkování

Literatura

• LANCZOS, Cornelius. Linear Differential Operators. Londres & New York: van Nostrand, 1961. Dostupné online. ISBN 0-486-68035-5. Kapitola Local smoothing by integration. 
• LANCZOS, Cornelius. Applied Analysis. New York: Prentice-Hall, 1956. 539 s. Dostupné online. ISBN 978-0-486-65656-4. (anglicky) 
• ACTON, Forman S. Numerical Methods That (Usually) Work. Washington (D.C.): The Mathematical Association of America, 1970. 549 s. Dostupné online. ISBN 978-0-88385-450-1. Kapitola Fourier Series. (anglicky)