Ruffiniho pravidlo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

V lineární algebře Ruffiniho pravidlo dovoluje dělit jednoduchým způsobem jakýkoliv polynom polynomem prvního řádu ve formě (x-a). Pravidlo popsal italský matematik Paolo Ruffini v roce 1809

Algoritmus[editovat | editovat zdroj]

Ruffiniho pravidlo stanovuje metodu dělení polynomu

polynomem

pro dosažení vysledku

a zbytek R, což je konstanta, případně nula.

Algoritmus není nic jiného než dělení polynomu P(x) lomeno A(x), ovšem zapsáno ve zjednodušené formě.

Pro dělení P(x) lomeno A(x) postupujeme takto:

  1. Vezmeme koeficienty P(x) a zapíšeme je do prvního řádku v pořadí podle mohutnosti x. Do druhého řádku před svislou čáru zapíšeme  r  (konstanta polynomu A(x)):
  2. Zkopírujeme koeficient (an) dolů pod čáru:
  3. Vynásobíme nejpravější číslo z těch, co jsou pod čarou, krát r a výsledek zapíšeme do řádku nad čarou o jednu pozici vpravo:
  4. Sečteme tuto hodnotu s hodnotou nad ní a výsledek zapíšeme pod čáru:
  5. Opakujeme operaci dokud nedojdeme na konec tabulky

Hodnoty

jsou koeficienty výsledky Q(x), jehož řád je o jedno menší než řád P(x). R je zbytek po dělení a je to konstanta (není to funkce x).

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Dělení polynomem (x − r)[editovat | editovat zdroj]

Mějme

Chceme vydělit P(x) lomeno A(x) s použitím Ruffiniho pravidla. První problém je v tom, že A(x) není ve formě (xr), ale (x + r). To ovšem není vážný problém, stačí zapsat A(x) jako

Jdeme na to:

  1. Zapíšeme koeficienty P(x) a r:
  2. Zkopírujeme první koeficient dolů:
  3. Vynásobíme nejpravější číslo pod čarou krát r a výsledek zapíšeme do následující pozice nad čarou:
  4. Sečteme hodnoty ve druhém sloupci, výsledek zapíšeme pod čáru:
  5. Opakujeme body 3 a 4 dokud nedojdeme na konec tabulky:

Dostali jsme tedy výsledek, pro který platí:

kde

.

Dělení polynomem (axk)[editovat | editovat zdroj]

Aplikací jednoduché transformace můžeme použít Ruffiniho pravidlo i pro polynomy ve tvaru 

Bude stačit vydělit všechno koeficientem a, který je vždy různý od nuly (jinak by to nebyl polynom).

Nechť  a , dostaneme:

Takže  je též výsledek dělení  lomeno , který se vyřeší výše uvedeným algoritmem. Abychom dostali zbytek  bude stačit vynásobit zbytek který jsme dostali  krát .

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Regola di Ruffini na italské Wikipedii.