Tento článek
není dostatečně ozdrojován a může tedy obsahovat informace, které je třeba
ověřit .
Jste-li s popisovaným předmětem seznámeni, pomozte doložit uvedená tvrzení doplněním referencí na
věrohodné zdroje .
Rozdělení chí kvadrát čili rozdělení
χ
2
{\displaystyle \chi ^{2}}
(jinak také Pearsonovo rozdělení) s
n
{\displaystyle n}
stupni volnosti je spojité rozdělení pravděpodobnosti , které je často využíváno ve statistice . Velký význam má pro určování, zda množina dat vyhovuje dané distribuční funkci .
Rozdělení
χ
2
{\displaystyle \chi ^{2}}
o
n
{\displaystyle n}
stupních volnosti , které se označuje
χ
2
(
n
)
{\displaystyle \chi ^{2}(n)}
, je rozdělení náhodné veličiny
X
=
∑
i
=
1
n
U
i
2
{\displaystyle X=\sum _{i=1}^{n}U_{i}^{2}}
, kde
U
i
{\displaystyle U_{i}}
je
n
{\displaystyle n}
vzájemně nezávislých náhodných veličin s normovaným normálním rozdělením
N
(
0
,
1
)
{\displaystyle \operatorname {N} (0,1)}
.
Rozdělení
χ
2
(
n
)
{\displaystyle \chi ^{2}(n)}
má hustotu pravděpodobnosti
f
(
x
)
=
{
0
pro
x
≤
0
1
Γ
(
n
2
)
2
n
2
e
−
x
2
x
n
2
−
1
pro
x
>
0
{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{ pro }}x\leq 0\\{\frac {1}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)2^{\frac {n}{2}}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x}{2}}}x^{{\frac {n}{2}}-1}&{\mbox{ pro }}x>0\end{matrix}}\right.}
Střední hodnota rozdělení
χ
2
(
n
)
{\displaystyle \chi ^{2}(n)}
je
E
(
X
)
=
n
{\displaystyle \operatorname {E} (X)=n}
Rozdělení
χ
2
(
n
)
{\displaystyle \chi ^{2}(n)}
má rozptyl
σ
2
(
X
)
=
2
n
{\displaystyle \sigma ^{2}(X)=2n}
Momentová vytvořující funkce pro rozdělení
χ
2
(
n
)
{\displaystyle \chi ^{2}(n)}
má tvar
m
(
z
)
=
(
1
−
2
z
)
−
n
2
{\displaystyle m(z)={(1-2z)}^{-{\frac {n}{2}}}}
Tabulka některých kvantilů pro některé počty stupňů volnosti:
stupňů volnosti
q0,95
q0,99
1
3,84
6,63
2
5,99
9,21
3
7,81
11,34
4
9,49
13,28
5
11,07
15,09
10
18,31
23,21
15
25,00
30,58
20
31,41
37,57
30
43,77
50,89
40
55,76
63,69
50
67,50
76,15
N velké (>100)
N
+
1
,
65
2
N
{\displaystyle N+1,65{\sqrt {2N}}}
N
+
2
,
33
2
N
{\displaystyle N+2,33{\sqrt {2N}}}
Poznámka: 95% kvantil odpovídá kritické hodnotě pro 5% hladinu významnosti , 99% kvantil kritické hodnotě pro 1% hladinu významnosti.
Rozdělení
χ
2
(
n
)
{\displaystyle \chi ^{2}(n)}
se s rostoucím
n
{\displaystyle n}
blíží k normálnímu rozdělení se střední hodnotou
n
{\displaystyle n}
a rozptylem
2
n
{\displaystyle 2n}
.