Rozdělení chí kvadrát

Graf hustoty pravděpodobnosti rozdělení chí kvadrát pro různý počet stupňů volnosti

Rozdělení chí kvadrát čili rozdělení $\chi ^{2}$ (jinak také Pearsonovo rozdělení) s $n$ stupni volnosti je spojité rozdělení pravděpodobnosti, které je často využíváno ve statistice. Má velký význam pro určování, zda množina dat vyhovuje dané distribuční funkci. Rozdělení chí-kvadrát je jedním z nejpoužívanějších rozdělení pravděpodobnosti v inferenční statistice, především v testování statistických hypotéz a v konstrukci intervalů spolehlivosti.

Rozdělení $\chi ^{2}$ o $n$ stupních volnosti, které se označuje $\chi ^{2}(n)$, je rozdělení náhodné veličiny $X=\sum _{i=1}^{n}U_{i}^{2}$, kde $U_{i}$ je $n$ vzájemně nezávislých náhodných veličin s normovaným normálním rozdělením $\operatorname {N} (0,1)$.

Rozdělení $\chi ^{2}(n)$ má hustotu pravděpodobnosti

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{ pro }}x\leq 0\\{\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x}{2}}}x^{{\frac {n}{2}}-1}&{\mbox{ pro }}x>0\end{matrix}}\right.$

kde $\Gamma$ je gama funkce.

Charakteristiky rozdělení

Střední hodnota rozdělení $\chi ^{2}(n)$ je

$\operatorname {E} (X)=n$

Rozdělení $\chi ^{2}(n)$ má rozptyl

$\sigma ^{2}(X)=2n$

Momentová vytvořující funkce pro rozdělení $\chi ^{2}(n)$ má tvar

$m_{X}(t)={(1-2t)}^{-{\frac {n}{2}}}$

Tabulka některých kvantilů pro některé počty stupňů volnosti:

stupňů volnosti	q0,95	q0,99
1	3,84	6,63
2	5,99	9,21
3	7,81	11,34
4	9,49	13,28
5	11,07	15,09
10	18,31	23,21
15	25,00	30,58
20	31,41	37,57
30	43,77	50,89
40	55,76	63,69
50	67,50	76,15
N velké (>100)	$N+1,65{\sqrt {2N}}$	$N+2,33{\sqrt {2N}}$

Poznámka: 95% kvantil odpovídá kritické hodnotě pro 5% hladinu významnosti, 99% kvantil kritické hodnotě pro 1% hladinu významnosti.

Vlastnosti

Rozdělení $\chi ^{2}(n)$ se s rostoucím $n$ blíží k normálnímu rozdělení se střední hodnotou $n$ a rozptylem $2n$.

Odkazy

Literatura

• kolektiv autorů, 1978. Aplikovaná matematika. Praha: SNTL. 2386 s. (Oborové encyklopedie SNTL). (český) 
• WEISSTEIN, Eric W. Chi-Squared Distribution [online]. mathworld.wolfram.com [cit. 2024-10-11]. Dostupné online. (anglicky) 
• Engineering Statistics Handbook – Chi-Squared Distribution [online]. [cit. 2025-03-23]. Dostupné online. 
• JOHNSON, N. L.; KOTZ, S.; BALAKRISHNAN, N., 1994. Continuous Univariate Distributions. 2. vyd. [s.l.]: John Wiley and Sons. ISBN 978-0-471-58495-7. Kapitola Chi-Square Distributions including Chi and Rayleigh, s. 415–493. 
• MOOD, Alexander; GRAYBILL, Franklin A.; BOES, Duane C., 1974. Introduction to the Theory of Statistics. 3. vyd. [s.l.]: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-042864-5. S. 241–246. 

Související články

• Chí-kvadrát test
• Rozdělení pravděpodobnosti
• Normální rozdělení

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Χ² rozdělení na Wikimedia Commons

Autoritní data	GND: 4448035-0