Reziduum

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Vyjádříme-li meromorfní funkci v okolí jejího izolovaného singulárního bodu Laurentovou řadou (pro ), pak číslo se nazývá reziduum funkce v bodě .

Na základě vyjádření koeficientů Laurentova rozvoje získáme

Reziduová věta[editovat | editovat zdroj]

Mějme jednoduchou konečnou po částech hladkou uzavřenou křivku , která je kladně orientovaná vzhledem ke svému vnitřku . Uvažujme funkci , která je v holomorfní s výjimkou konečného počtu singulárních bodů a s výjimkou těchto bodů spojitá v . Pak integrál

je roven součtu reziduí funkce v bodech , tzn.

,

kde označuje reziduum funkce v bodě .

Výpočet reziduí[editovat | editovat zdroj]

Má-li meromorfní funkce f definovaná alespoň na okolí D = {z: 0 < |z-c| < R, R > 0} v bodě c pól prvního řádu, potom je reziduum určeno jako:

nebo přímo použitím reziduové věty

kde kladně orientovaná křivka γ tvoří kruh kolem c o poloměru ε, kde ε je libovolně malé.

Reziduum funkce f(z)=g(z)/h(z) mající v c pól prvního řádu, kde g a h jsou holomorfní funkce v okolí c a zároveň h(c) = 0, g(c) ≠ 0, je dáno jako

Obecněji je reziduum funkce f v bodě z = c mající v c pól řádu n vyjádřeno jako:

Může-li být f holomorfně rozšířena na celý disk { z : |zc| < R }, potom Res[f]z=c = 0. Opačné tvrzení obecně neplatí.

Související články[editovat | editovat zdroj]