Relativistický Dopplerův jev

Relativistický Dopplerův jev popisuje změnu vlnové délky, která nastane, pokud se zdroj a příjemce elektromagnetického vlnění vůči sobě vzájemně pohybují. Na rozdíl od klasického Dopplerova jevu jsou započteny efekty dilatace času podle speciální teorie relativity. Pro rychlosti o několik řádů menší než rychlost světla je ale rozdíl předpovědi podle obou modelů zanedbatelný.

Výpočet jednorozměrného případu

Pokud se zdroj a pozorovatel od sebe pohybují po jedné přímce rychlostí $v\,$, pozorovaná frekvence $f_{o}\,$ se liší od frekvence zdroje $f_{e}\,$ takto:

$f_{o}={\sqrt {\frac {1-v/c}{1+v/c}}}\,f_{e}$

kde $c\,$ je rychlost světla.

Odpovídající vlnová délka se změní takto:

$\lambda _{o}={\sqrt {\frac {1+v/c}{1-v/c}}}\,\lambda _{e}$

a výsledný rudý posuv $z\,$ může být popsán jako

$z+1={\frac {\lambda _{o}}{\lambda _{e}}}={\sqrt {\frac {1+v/c}{1-v/c}}}$

Pro nerelativistické rychlosti, tedy pro $v\ll c\,$, lze provést zjednodušující aproximaci:

${\frac {\Delta f}{f}}\simeq -{\frac {v}{c}}\qquad {\frac {\Delta \lambda }{\lambda }}\simeq {\frac {v}{c}}\qquad z\simeq {\frac {v}{c}}$

což je klasický Dopplerův jev.

Poznámka: Vzorce platí pro objekty vzdalující se od sebe po jedné přímce. Pro přibližující se objekty je třeba dosadit rychlost záporně.