Morerova věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Morerova věta je matematické tvrzení z oblasti komplexní analýzy. Dává nutnou a postačující podmínku pro holomorfnost spojité funkce na souvislé otevřené množině.

Přesné znění[editovat | editovat zdroj]

Nechť G je otevřená souvislá množina a f funkce spojitá na G. Pak f je holomorfní na G, právě když pro každý trojúhelník je , kde je hranice trojúhelníku .

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Implikace zleva doprava plyne například z Cauchyovy věty nebo z Goursatova lemmatu.

Pro implikaci zprava doleva dokazujme holomorfnost v daném bodě . Volme okolo kruh . Definujme na K funkci F vztahem

, kde je parametrizace úsečky

F díky předpokladu splňuje na K, tedy F je na K holomorfní a díky Cauchyovu vzorci na kruhu je i f holomorfní na K, tedy speciálně v .

Důsledky[editovat | editovat zdroj]

Z Morerovy věty snadno plyne takzvaná Weierstrassova věta, která říká, že lokálně stejnoměrná limita holomorfních funkcí je holomorfní. Z této věty pak vyplývá holomorfnost funkcí, které lze vyjádřit jako součet řady holomorfních funkcí. Příkladem může být Riemannova zeta funkce

V kombinaci s Fubiniovou větou může Morerova věta prokázat holomorfnost funkcí, které lze vyjádřit jako integrál holomorfních funkcí - například Gamma funkce

Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]