Eliakim Hastings Moore Moorova–Osgoodova věta je věta z oblasti matematické analýzy pojmenovaná po matematicích E. H. Moorovi a W. F. Osgoodovi , která charakterizuje postačující podmínku pro záměnu limit v násobných limitách.
Nechť
(
P
,
ρ
)
{\displaystyle (P,\rho )}
metrický prostor ,
x
0
∈
P
{\displaystyle x_{0}\in P}
P
{\displaystyle P}
funkce
f
,
f
n
:
P
→
R
∀
n
∈
N
{\displaystyle f,f_{n}:P\rightarrow \mathbb {R} \forall n\in \mathbb {N} }
existuje
r
∈
R
:
r
>
0
{\displaystyle r\in \mathbb {R} :r>0}
f
n
{\displaystyle f_{n}}
stejnoměrně konverguje k
f
{\displaystyle f}
B
(
x
0
,
r
)
∖
{
x
0
}
{\displaystyle B(x_{0},r)\setminus \{x_{0}\}}
pro každé
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
lim
x
→
x
0
f
n
(
x
)
=
a
n
∈
R
{\displaystyle \lim \limits _{x\rightarrow x_{0}}f_{n}(x)=a_{n}\in \mathbb {R} }
Potom existují vlastní limity
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
{\displaystyle \lim \limits _{x\rightarrow x_{0}}f(x)}
lim
n
→
∞
a
n
{\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow \infty }a_{n}}
[1]
Nejdříve ukážeme, že existuje limita
lim
n
→
∞
a
n
{\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow \infty }a_{n}}
Dostaneme zadané
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
n
0
∈
N
{\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }
∀
x
∈
B
(
x
0
,
r
)
∖
{
x
0
}
,
∀
n
∈
N
,
n
≥
n
0
:
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
<
ε
4
{\displaystyle \forall x\in B(x_{0},r)\setminus \{x_{0}\},\forall n\in \mathbb {N} ,n\geq n_{0}:|f_{n}(x)-f(x)|<{\frac {\varepsilon }{4}}}
n
0
{\displaystyle n_{0}}
f
n
{\displaystyle f_{n}}
f
{\displaystyle f}
Mějme dále
m
,
n
∈
N
,
m
,
n
>
n
0
{\displaystyle m,n\in \mathbb {N} ,m,n>n_{0}}
r
n
∈
R
+
:
r
n
<
r
{\displaystyle r_{n}\in \mathbb {R} ^{+}:r_{n}<r}
∀
x
∈
B
(
x
0
,
r
n
)
∖
{
x
0
}
:
|
f
n
(
x
)
−
a
n
|
<
ε
4
{\displaystyle \forall x\in B(x_{0},r_{n})\setminus \{x_{0}\}:|f_{n}(x)-a_{n}|<{\frac {\varepsilon }{4}}}
r
m
∈
R
+
:
r
m
<
r
{\displaystyle r_{m}\in \mathbb {R} ^{+}:r_{m}<r}
∀
x
∈
B
(
x
0
,
r
m
)
∖
{
x
0
}
:
|
f
m
(
x
)
−
a
m
|
<
ε
4
{\displaystyle \forall x\in B(x_{0},r_{m})\setminus \{x_{0}\}:|f_{m}(x)-a_{m}|<{\frac {\varepsilon }{4}}}
r
m
,
r
n
{\displaystyle r_{m},r_{n}}
Nyní uvážíme
x
∈
B
(
x
0
,
min
{
r
m
,
r
n
}
)
∖
{
x
0
}
{\displaystyle x\in B(x_{0},{\text{min}}\{r_{m},r_{n}\})\setminus \{x_{0}\}}
x
{\displaystyle x}
|
a
n
−
a
m
|
=
|
a
n
−
f
n
(
x
)
+
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
+
f
(
x
)
−
f
m
(
x
)
+
f
m
(
x
)
−
a
m
|
≤
|
a
n
−
f
n
(
x
)
|
+
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
+
|
f
(
x
)
−
f
m
(
x
)
|
+
|
f
m
(
x
)
−
a
m
|
=
ε
4
+
ε
4
+
ε
4
+
ε
4
=
ε
{\displaystyle |a_{n}-a_{m}|=|a_{n}-f_{n}(x)+f_{n}(x)-f(x)+f(x)-f_{m}(x)+f_{m}(x)-a_{m}|\leq |a_{n}-f_{n}(x)|+|f_{n}(x)-f(x)|+|f(x)-f_{m}(x)|+|f_{m}(x)-a_{m}|={\frac {\varepsilon }{4}}+{\frac {\varepsilon }{4}}+{\frac {\varepsilon }{4}}+{\frac {\varepsilon }{4}}=\varepsilon }
Tedy posloupnost
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
cauchyovská , a tedy (jelikož jsou všechny hodnoty reálné) i konvergentní a má vlastní limitu:
lim
n
→
∞
a
n
=
a
∈
R
{\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow \infty }a_{n}=a\in \mathbb {R} }
Tím je splněn první cíl. Dále dokážeme, že platí rovnost, tedy
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
a
{\displaystyle \lim \limits _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=a}
Opět mějme zadané
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
n
0
∈
N
{\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }
∀
n
≥
n
0
:
|
a
n
−
a
|
<
ε
3
{\displaystyle \forall n\geq n_{0}:|a_{n}-a|<{\frac {\varepsilon }{3}}}
n
0
{\displaystyle n_{0}}
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
n
1
∈
N
{\displaystyle n_{1}\in \mathbb {N} }
∀
n
≥
n
1
:
∀
x
∈
B
(
x
0
,
r
)
∖
{
x
0
}
:
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
<
ε
3
{\displaystyle \forall n\geq n_{1}:\forall x\in B(x_{0},r)\setminus \{x_{0}\}:|f_{n}(x)-f(x)|<{\frac {\varepsilon }{3}}}
f
n
⇉
f
{\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}
n
>
max
{
n
0
,
n
1
}
{\displaystyle n>{\text{max}}\{n_{0},n_{1}\}}
n
{\displaystyle n}
r
1
∈
R
+
:
∀
x
∈
B
(
x
0
,
r
1
)
∖
{
x
0
}
:
|
f
n
(
x
)
−
a
n
|
<
ε
3
{\displaystyle r_{1}\in \mathbb {R} ^{+}:\forall x\in B(x_{0},r_{1})\setminus \{x_{0}\}:|f_{n}(x)-a_{n}|<{\frac {\varepsilon }{3}}}
Nakonec zvolíme
r
2
=
min
{
r
,
r
1
}
{\displaystyle r_{2}={\text{min}}\{r,r_{1}\}}
∀
x
∈
B
(
x
0
,
r
2
)
∖
{
x
0
}
:
|
f
(
x
)
−
a
|
=
|
f
(
x
)
−
f
n
(
x
)
+
f
n
(
x
)
−
a
n
+
a
n
−
a
|
≤
|
f
(
x
)
−
f
n
(
x
)
|
+
|
f
n
(
x
)
−
a
n
|
+
|
a
n
−
a
|
=
ε
3
+
ε
3
+
ε
3
=
ε
{\displaystyle \forall x\in B(x_{0},r_{2})\setminus \{x_{0}\}:|f(x)-a|=|f(x)-f_{n}(x)+f_{n}(x)-a_{n}+a_{n}-a|\leq |f(x)-f_{n}(x)|+|f_{n}(x)-a_{n}|+|a_{n}-a|={\frac {\varepsilon }{3}}+{\frac {\varepsilon }{3}}+{\frac {\varepsilon }{3}}=\varepsilon }
Tato věta je významná pro svou poměrně jednoduchou charakterizaci postačující podmínky pro záměnu limit.
Zároveň lze jednoduše ukázat, že pro posloupnosti konvergující nestejnoměrně nemusí záměna limit platit: příkladem je
f
n
:
[
0
,
1
]
→
R
:
f
n
(
x
)
=
x
n
{\displaystyle f_{n}:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} :f_{n}(x)=x^{n}}
lim
n
→
∞
f
n
(
1
)
=
1
{\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow \infty }f_{n}(1)=1}
f
n
{\displaystyle f_{n}}
f
(
x
)
=
0
∀
x
∈
[
0
,
1
)
,
f
(
1
)
=
1
{\displaystyle f(x)=0\forall x\in [0,1),f(1)=1}
lim
x
→
1
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim \limits _{x\rightarrow 1}f(x)=0}
[2]
Základním využitím této věty je právě teoretická aplikace možnosti záměny pořadí limit.
Jiné znění této věty také umožňuje ukázat konvergenci jednostranné limity dvou proměnných.[3]
[4] [5] [6] [7] [8]
↑ RUDIN, WALTER, 1921-. Principles of mathematical analysis . 3rd ed. vyd. [Asia]: McGraw-Hill viii, 342 p. s. ISBN 007054235X ISBN 9780070542358 OCLC 318376539 S. 135, Theorem 7.11. ↑ ESTEP, DONALD J., 1959-. Practical analysis in one variable . New York: Springer xx, 621 pages s. ISBN 0387954848 ISBN 9780387954844 OCLC 49355895 ↑ University of New Mexico (UNM) . London: Palgrave Macmillan UK Dostupné online . ISBN 9781349958092 ISBN 9781349958108 ↑ Moore-Osgood Theorem - ProofWiki. proofwiki.org [online]. [cit. 2019-04-12]. Dostupné online. https://proofwiki.org/wiki/Moore-Osgood_Theorem
↑ 1. Těleso komplexních čísel. Matematická sekce | Matematicko-fyzikální fakulta. Univerzita Karlova [online]. Copyright © [cit. 12.04.2019]. Dostupné z: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~honzikpe/i3.pdf Archivováno 12. 4. 2019 na Wayback Machine .↑ Matematická analýza_1 . Matematická sekce | Matematicko-fyzikální fakulta. Univerzita Karlova [online]. Copyright © [cit. 12.04.2019]. Dostupné z: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~pick/analyza.pdf ↑ GRAVES, Lawrence M. The theory of functions of real variables . Dover ed. Mineola, N.Y.: Dover Publications, 2009. Dover books on mathematics. ISBN 978-0486474342
↑ TAYLOR, Angus E. General theory of functions and integration . New York: Dover Publications, 1985. ISBN 978-0486649887
Moore-Osgood theorem for fuzzy functions. ResearchGate | Share and discover research [online]. Copyright © ResearchGate 2019. All rights reserved. [cit. 12.04.2019]. Dostupné z: https://www.researchgate.net/publication/266249354_Moore-Osgood_theorem_for_fuzzy_functions
A Boolean Derivation of the Moore-Osgood Theorem. JSTOR: Access Check. JSTOR [online]. Copyright ©2000 [cit. 12.04.2019]. Dostupné z: https://www.jstor.org/stable/2266733?seq=1#metadata_info_tab_contents
HOFFMAN, Kenneth. Analysis in Euclidean space . Dover ed. Mineola, N.Y.: Dover Publications, 2007. ISBN 978-0486458045 https://epdf.tips/analysis-in-euclidean-space8d033b5dc21477810d8465ee52f782527763.html 
![{\displaystyle f_{n}:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} :f_{n}(x)=x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54f420287ab311cbdc7946597f0d76691eadd418)
