Minimální polynom (teorie těles)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
(rozdíl) ← Starší revize | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější revize → (rozdíl)
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Minimální polynom je pojem z teorie těles, podoboru abstraktní algebry.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť je tělesové rozšíření a je dán prvek . Pak je minimálním polynomem prvku takový monický polynom z polynomiálního okruhu , kterého je kořenem a který je mezi takovými polynomy nejmenšího stupně.

Existence a jednoznačnost[editovat | editovat zdroj]

Minimální polynom může existovat pouze k algebraickým prvkům – pokud je prvek transcendentní a tedy není kořenem žádného polynomu z , pak nelze hledat mezi takovými polynomy polynom monický a nejnižšího stupně.

Je-li ovšem prvek algebraický, pak je množina všech polynomů, jejichž je kořenem, vlastním ideálem. A protože je oborem hlavních ideálů, jedná se o hlavní ideál generovaný nějakým polynomem , ke kterému je jednoznačně asociovaný monický polynom, což je hledaný minimální polynom.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Rozšíření , tedy tělesa reálných čísel nad tělesem racionálních čísel, sice není algebraické, ale některé jeho prvky ano: Například je kořenem polynomu , který je přímo i jeho minimálním polynomem.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Minimal polynomial (field theory) na anglické Wikipedii.

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • STANOVSKÝ, David. Základy algebry. Praha: Matfyzpress, 2010. 153 s. ISBN 978-80-7378-105-7. (čeština)