Minimální polynom (teorie těles)

Minimální polynom je pojem z teorie těles, podoboru abstraktní algebry.

Definice

Nechť $S/T$ je tělesové rozšíření a je dán prvek $a\in S$. Pak je minimálním polynomem prvku $a$ takový monický polynom z polynomiálního okruhu $T[x]$, kterého je $a$ kořenem a který je mezi takovými polynomy nejmenšího stupně.

Existence a jednoznačnost

Minimální polynom může existovat pouze k algebraickým prvkům – pokud je prvek transcendentní a tedy není kořenem žádného polynomu z $T[x]$, pak nelze hledat mezi takovými polynomy polynom monický a nejnižšího stupně.

Je-li ovšem prvek $a$ algebraický, pak je množina všech polynomů, jejichž je kořenem, vlastním ideálem. A protože $T[x]$ je oborem hlavních ideálů, jedná se o hlavní ideál generovaný nějakým polynomem $r(x)$, ke kterému je jednoznačně asociovaný monický polynom, což je hledaný minimální polynom.

Vlastnosti

• Minimální polynom musí být ireducibilní.

Příklady

• Rozšíření $\mathbb {R} /\mathbb {Q}$, tedy tělesa reálných čísel nad tělesem racionálních čísel, sice není algebraické, ale některé jeho prvky ano: Například $a={\sqrt {2}}$ je kořenem polynomu $p(x)=x^{2}-2$, který je přímo i jeho minimálním polynomem.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Minimal polynomial (field theory) na anglické Wikipedii.

Literatura

• STANOVSKÝ, David. Základy algebry. Praha: Matfyzpress, 2010. 153 s. ISBN 978-80-7378-105-7.