Mechanika kontinua

Mechanika kontinua je ve fyzice podoborem mechaniky a zabývá se matematickým popisem a modelováním spojitého hmotného prostředí. Mechanika kontinua nalézá uplatnění takřka ve všech oborech inženýrství, kde slouží k modelování deformací a napětí v pevných látkách, zvuku nebo mechaniky tekutin. Mechanika kontinua je užitečnou abstrakcí hmoty takovým způsobem, aby bylo možné popsat fyzikální procesy, které v hmotě probíhají, bez znalosti její vnitřní struktury.

Prostředí, které má nekonečně mnoho stupňů volnosti nazýváme kontiuum. Kontinuum je pojem nadřazený tekutinám (kapalinám, plynům a plazmatu) a deformovatelným pevným látkám. Mechanika kontinua předpokládá, že hmota je dělitetná na libovolně malé kusy. V mechanice kontinua je běžné setkat se s pojmem materiálová částice, který zde neoznačuje fyzicky existující částici, ale je synonymem k infinitezimálně malému objemu materiálu.

Všechny fyzikální veličiny (tlak, hustota, teplota, rychlost,...) jsou průměrovány přes vzdálenosti výrazně větší, než jsou vzdálenosti mezi atomy. Existence jednotlivých atomů je tak zanedbána. Materiálová částice má vždy zanedbatelně malé rozměry, zároveň ale musí být dost „velká", aby obsahovala značné množství atomů. Materiálovou částici nelze brát jako hmotný bod, protože s ní jsou asociovány dodatečné veličiny jako teplota a hustota. Pokud jsou předmětem zkoumání veličiny v makroskopickém měřítku, obvykle je jejich popis pouze makroskopickém měřítku úspěšný.

Matematický popis kontinua

Materiálové částici lze přiřknout spojitou trajektorii. Pohyb kontinua je popsán pomocí trajektorií jeho materiálových částic. Trajektorie částice je spojitá a invetrovatelná funkce, jejíž argumenty jsou čas $t$ a počáteční neboli referenční poloha $X_{k}$ (index označuje jednotlivé souřadnice $X_{1},X_{2},X_{3}$). Trajektorie v závislosti na čase jednoznačně určuje okamžitou polohu materiálové částice. Podle standardního značení je trajektorie vyjádřena pomocí deformačního zobrazení, které se značí řeckým písmenem $\chi$.

$x_{i}=\chi (X_{k},t),~~~~~i=1,2,3$

Z trajektorie částice lze získat rychlost obvyklým způsobem - derivací v čase.

$v_{i}\equiv {\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {d}{dt}}\chi _{i}(X_{k},t)=v_{i}(X_{k},t)$

Alternativně je možné pomocí inverzního deformačního zobrazení vyjádřit referenční polohu pomocí aktuální polohy částic.

$X_{k}(x_{i},t)=\chi _{i}^{-1}(x_{i},t)\implies v_{i}(X_{k}(x_{j},t),t)\equiv v_{i}(x_{j},t)$

Na základě volby proměnných (referenční nebo okamžité polohy) se rozlišují dva základní přístupy k popisu kontinua: Lagrangeův a Eulerův popis.

Lagrangeův popis

Lagrangeův pipis ke kontinuu se zabývá veličinami, které jsou vztažené vzhledem k počáteční konfiguraci částic. Nezávislými proměnnými jsou proto vždy $X_{1},X_{2},X_{3},t$. V tomto přístupu se popis soustřeďuje na to, co se děje s částicí na její dráze. Tento popis je volen zejména v případech, kde je možné snadno určit počáteční polohu částice v již deformovaném materiálu. Tento popis nalézá uplatnění hlavně u deformací pevných látek.

Eulerův popis

Druhou přirozenou možností popisu kontinua je Eulerův popis, který je založen na vyjádření veličin v okamžitých polohách částic a času $x_{1},x_{2},x_{3},t$. V lagrangeovském popisu jsou rychlosti měřeny na jednotlivých pohybujících se částicích, ale v Eulerově popisu jsou měřeny v pevně dananých bodech. V Eulerově popisu je zaváděno rychlostní pole, které popisuje rychlosti částic v celém materiálu. Eulerův popis je výhodnější pro popis tekutin. V tekuté látce je totiž obvykle hlavním účelem popis rychlosti hmoty v nějakém pevném bodě a ne zjistit vývoj rychlosti v čase u nějaké zadané částice.

Deformační gradient

Ústředním pojmem v mechanice kontinua hraje deformační gradient, což je matice parciálních derivací vzhledem k referenčním souřadnicím.

$F_{ik}={\frac {\partial x_{i}}{\partial F_{k}}}=\chi _{k,i}(X_{j},t),~~~~~i,k=1,2,3$

Pomocí deformačního gradientu se definují deformační tenzory a další základní veličiny, které popisují stlačení, deformace a síly v materiálech.

Odkazy

Literatura

• PODOLSKÝ, Jiří. Teoretická mechanika ve třech knihách. 1. vyd. [s.l.]: Matfyzpress, 2024. 432 s. ISBN 978-80-7378-499-7. S. 177-197. 
• PRANDTL, Ludwig; BÖHLE, Matrin; ETLING, Dieter; MÜLLER, Ulrich; Katepalli R.S. Sreenivasan. Prandtl - Führer durch die Strömungslehre: Grundlagen und Phänomene. [s.l.]: [s.n.] (německy) 
• HOLZAPFER, Gerthart A. Nonlinear Solid Mechancs, Continuum approach. 1. vyd. Chichescher, Spojené Království: John Witley & sons, 2000. 455 s. ISBN 0-471-82319-8. (anglicky) 
• W. Michael Lai; RUBIN, David; KREMPL, Erhard. Introduction to Continuum Mechanics. 4. vyd. Burlington, USA: Elsevier, 2010. 520 s. ISBN 978-0-7506-8560-3. (anglicky) 

Související články

• Mechanika tekutin

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu mechanika kontinua na Wikimedia Commons

Autoritní data	NKC: ph115248 BNF: cb119428967 (data) GND: 4032296-8 LCCN: sh85031576 LNB: 000131347 NDL: 00575759 NLI: 987007557831705171

Portály: Fyzika