Sigma algebra

$\sigma$-algebra (sigma-algebra, též $\sigma$-těleso) je v matematice libovolný neprázdný systém množin, který je uzavřený na spočetné sjednocení a na rozdíl dvou prvků a obsahuje sjednocení všech svých prvků. Prefix $\sigma$ v názvu vyjadřuje uzavřenost na spočetné sjednocení.

Definice

Systém ${\mathcal {A}}$ podmnožin množiny $X$ nazveme $\sigma$-algebrou, jestliže obsahuje prázdnou množinu a je uzavřený na spočetné sjednocení a doplněk, tj.:

1. $\emptyset \in {\mathcal {A}}$
2. jestliže $(\forall n\in \mathbb {N} )(A_{n}\in {\mathcal {A}})$, pak $\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {A}}$
3. jestliže $A\in {\mathcal {A}}$, pak $X\setminus A\in {\mathcal {A}}$

Vlastnosti

• $\sigma$-algebra obsahuje sjednocení všech svých prvků, tj.: $X\in {\mathcal {A}}$, což dostaneme dosazením prázdné množiny za $A$ v poslední části definice
• $\sigma$-algebra je uzavřená na spočetný průnik svých prvků, tj. pro $(\forall n\in \mathbb {N} )(A_{n}\in {\mathcal {A}})$ platí $\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {A}}$

Použití

Koncept $\sigma$-algebry je důležitý především v teorii míry a v teorii pravděpodobnosti. Míra je libovolná nezáporná funkce, která je $\sigma$-aditivní a má na prázdné množině hodnotu $0$. Pravděpodobnost je míra, která má na množině $X$ hodnotu $1$.

Měřitelná množina

V teorii míry se dvojice $(X,{\mathcal {A}})$, kde $X$ je libovolná množina a ${\mathcal {A}}$ je $\sigma$-algebra na $X$ nazývá měřitelný prostor a množiny ${\mathcal {A}}\in {\mathcal {A}}$ nazýváme měřitelné množiny.

Související články

• $\sigma$-okruh

Autoritní data	GND: 4181252-9

Portály: Matematika