Lindelöfova pokrývací věta

Nechť $(P,\rho )$ je metrický prostor a $M\subset P$ separabilní množina. Existuje-li nespočetné pokrytí množiny M otevřenými množinami $G_{\alpha }$, pak z tohoto pokrytí lze vybrat spočetné podpokrytí.

Důkaz

Mějme tedy pokrytí $M\subset \cup _{\alpha \in A}G_{\alpha }$.

Ze separability M plyne existence spočetné množiny $\{x_{n}\}$, která je hustá v M. Zavedu systém okolí:

$O:=\{U_{\frac {1}{m}}(x_{n})|m,n\in \mathbf {N} |\exists \alpha \in A:U_{\frac {1}{m}}(x_{n})\subset G_{\alpha }\}$.

Zřejmě je množina O spočetná (protože je indexována přirozenými čísly). Dále O je pokrytím M, protože:

• Zvolím libovolné $x\in M$ a chci ukázat, že existují přirozená čísla n₀ a m₀ taková, že $x\in U_{\frac {1}{m_{0}}}(x_{n_{0}})$. Nejprve tedy najdu takové $\alpha \in A$, že $x\in G_{\alpha }$. Protože $G_{\alpha }$ je otevřená, vím, že existuje $\epsilon >0$ takové, že $U_{\epsilon }(x)\subset G_{\alpha }$. Najdu tedy m₀ takové, aby ${\frac {2}{m_{0}}}<\epsilon$.
• Dále vím, že $\{x_{n}\}$ je hustá v M, tedy existuje n₀ přirozené takové, že $x_{n_{0}}\in U_{\frac {1}{m_{0}}}(x)$, tedy $x\in U_{\frac {1}{m_{0}}}(x_{n_{0}})$.
• Tohle okolí je ale zvolené tak, že pro něj platí $U_{\frac {1}{m_{0}}}(x_{n_{0}})\subset U_{\epsilon }(x)\subset G_{\alpha }$, a tedy platí $U_{\frac {1}{m_{0}}}(x_{n_{0}})\in O$.

Pro každé $U_{\frac {1}{m}}(x_{n})\in O$ najdu $\alpha _{m,n}$ tak, aby $U_{\frac {1}{m}}(x_{n})\subset G_{\alpha }$ a množinu těchto $\alpha$ označím B. Množina B je spočetná (protože je indexována přirozenými čísly), a platí

$\cup _{\alpha \in B}G_{\alpha }\supset M$,

tedy mám spočetné pokrytí množiny M vybrané z nespočetného pokrytí.

Související články

• Borelova pokrývací věta
• Metrický prostor
• Pokrytí
• Separabilní prostor