Limitní bod

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Limitní bod množiny v topologickém prostoru je bod , který lze „aproximovat“ body množiny v tom smyslu, že každé okolí bodu vzhledem k topologii na obsahuje také nějaký jiný bod množiny než samotný . Samotný limitní bod množiny prvkem množiny být nemusí.

Limitní body množiny se nesmí zaměňovat s body uzávěru množiny , pro které každé okolí bodu obsahuje nějaký bod množiny . Na rozdíl od limitních bodů, tímto bodem množiny může být i samotný bod . Limitní bod lze charakterizovat jako bod uzávěru, který není izolovaným bodem.

Limitní body množiny se také nesmí zaměňovat s hraničními body množiny . Například je hraničním bodem množiny v se standardní topologií, ale není jejím limitním bodem. Naopak je limitním bodem intervalu v se standardní topologií, ale není hraničním bodem tohoto intervalu. Méně triviální příklad limitních bodů je ukázán na prvním obrázku.[1][2][3]

Tento koncept výhodně zobecňuje pojem limity a tvoří základ konceptů, jako je uzavřená množina nebo uzávěr množiny. Množina reálných čísel je uzavřená právě tehdy, když obsahuje všechny své limitní body; a na operaci topologického uzávěru lze pohlížet jako na operaci, která doplňuje množinu jejími hromadnými body.

Vzhledem k obvyklé eukleidovské topologii nemá posloupnost racionálních čísel žádnou limitu (tj. nekonverguje). Má však dva hromadné body: -1 a +1. Pokud tedy mluvíme o množinách, tyto body jsou limitními body množiny

Existuje také blízce příbuzný koncept pro posloupnosti. Hromadný bod posloupnosti v topologickém prostoru je bod takový, že, pro každé okolí bodu existuje nekonečně mnoho přirozených čísel takových, že Tuto definici hromadného bodu lze zobecnit pro sítě a filtry.

Pro posloupnosti, sítě a filtry limitní bod není totéž co hromadný bod množiny. Podle definice limitní bod filtru[4], limitní bod posloupnosti[5] nebo limitní bod sítě je bod, ke kterému konverguje konvergentní filtr (konvergentní posloupnost, příp. konvergentní síť).

Definice[editovat | editovat zdroj]

Hromadné body množiny[editovat | editovat zdroj]

Nechť je podmnožina topologického prostoru Její prvek je limitním bodem (nebo hromadným bodem) množiny , pokud každé jeho okolí obsahuje alespoň jeden bod množiny různý od .

Není žádný rozdíl, zda omezujeme podmínku pouze na otevřené okolí. Často je pohodlné používat definici s „otevřeným okolím“, pro demonstraci, že určitý bod je limitním bodem, a používat definici s „obecným okolím“ pro odvozování faktů ze známého limitního bodu.

Pokud je prostor (což platí pro každý metrický prostor), pak je limitní bod množiny právě tehdy, když každé okolí bodu obsahuje nekonečně mnoho bodů množiny [6] prostory jsou charakterizovány právě touto vlastností.

Pokud je Fréchetův–Urysohnův prostor (což platí pro každý metrický prostor nebo first-countable prostor), pak je limitním bodem množiny právě tehdy, když existuje posloupnost bodů v jejíž limitou je Fréchetovy–Urysohnovy prostory jsou charakterizovány právě touto vlastností.

Množina limitních bodů množiny se nazývá derivace množiny

Typy hromadných bodů[editovat | editovat zdroj]

Pokud každé okolí bodu obsahuje nekonečně mnoho bodů množiny pak je zvláštním typem limitního bodu, který nazýváme ω-hromadný bod množiny

Pokud každé okolí bodu obsahuje nespočetně mnoho bodů množiny pak je zvláštním typem limitního bodu, který nazýváme kondenzační bod množiny

Pokud každé okolí bodu vyhovuje pak je zvláštním typem limitního bodu, který nazýváme úplně hromadným bodem množiny

Hromadné body posloupností a sítí[editovat | editovat zdroj]

Posloupnost vyčíslující všechna kladná racionální čísla. Každé kladné reálné číslo je hromadným bodem.

Bod topologického prostoru se nazývá limitní bod posloupnosti , pokud, pro každé okolí bodu existuje nekonečně mnoho takových, že To je ekvivalentní s tvrzením, že pro každé okolí bodu a každé existuje nějaké takové, že Pokud je Metrický prostor nebo first-countable prostor (nebo, obecněji, Fréchetův–Urysohnův prostor), pak je hromadným bodem bodu právě tehdy, když je limita nějaké podposloupnosti bodu Množina všech limitních bodů posloupnosti se někdy nazývá limitní množina.

Pamatujte, že existuje už pojem limity posloupnosti, který označuje bod , ke kterém posloupnost konverguje (tj. každé okolí bodu obsahuje až na konečně mnoho prvků všechny prvky posloupnosti). To je důvodem, proč nepoužíváme termín limitní bod posloupnosti jako synonymum pro hromadný bod posloupnosti.

Koncept sítí zobecňuje myšlenku posloupností. Síť je funkce kde je dolů usměrněná množina a je topologický prostor. Bod se nazývá hromadný bod sítě , pokud, pro každé okolí bodu a každé existuje nějaké takové, že to jest pokud podsíť, která konverguje k Hromadné body v sítích slučují myšlenku kondenzačních bodů a ω-hromadných bodů. Hromadné a limitní body jsou také definovaný pro filtry.

Vztah mezi hromadným bodem posloupnosti a hromadným bodem množiny[editovat | editovat zdroj]

Každá posloupnost v je z definice pouhým zobrazením , takže jeho obraz lze definovat obvyklým způsobem.

  • Pokud existuje prvek , který se v posloupnosti objevuje nekonečně mnohokrát, pak tento je hromadným bodem posloupnosti. Ale nemusí být hromadným bodem odpovídající množiny Pokud například posloupnost je konstantní posloupností s hodnotami máme a je izolovaným bodem , a ne hromadným bodem
  • Pokud se žádný prvek neobjevuje nekonečně mnohokrát v posloupnosti, například pokud všechny prvky jsou navzájem různé, jakýkoli hromadný bod posloupnosti je -hromadným bodem příslušné množiny

Pokud je naopak dána spočetná nekonečná podmnožina můžeme všechny její prvky vyčíslit mnoha způsoby, dokonce s opakováním, a tak s ní ztotožnit s mnoho posloupností , pro které bude platit

  • Jakýkoli -hromadný bod množiny je hromadným bodem libovolné odpovídající posloupnosti (protože libovolné okolí bodu bude obsahovat nekonečně mnoho prvků množiny a tedy také nekonečně mnoho členů jakékoli odpovídající posloupnosti).
  • Bod , který není -hromadným bodem množiny nemůže být hromadným bodem žádné z odpovídajících posloupností bez nekonečných opakování (protože má nějaké okolí, které obsahuje pouze konečně mnoho bodů (případně dokonce žádný) množiny a protože okolí může obsahovat pouze konečně mnoho členů takových posloupností).

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Každá limita nekonstantní posloupnosti je hromadným bodem posloupnosti. A podle definice, každý hromadný bod je bodem uzávěru.

Uzávěr množiny je disjunktní sjednocení svých limitních bodů a izolovaných bodů :

Bod je limitní bod množiny právě tehdy, když leží v uzávěru množiny

Rozšířený obsah

Používáme fakt, že bod je v uzávěru množiny právě tehdy, když každé okolí bodu splňuje množinu. Nechť je nyní limitní bod množiny právě tehdy, když každé okolí bodu obsahuje nějaký bod množiny různý od právě tehdy, když každé okolí bodu obsahuje bod množiny právě tehdy, když je v uzávěru množiny

Pokud používáme pro označení množiny limitních bodů množiny pak máme následující charakterizaci uzávěru množiny : Uzávěr množiny se rovná sjednocení množiny a Tento fakt se někdy používá jako definice uzávěru množiny.

Rozšířený obsah

(“Levá inkluze“) Předpokládejme, že je v uzávěru množiny Pokud je v jsme hotovi. Pokud není v pak každé okolí bodu obsahuje bod množiny a tento bod nemůže být Jinými slovy je limitní bod množiny a je v (“Pravá inkluze“) Pokud je v pak každé okolí bodu jasně splňuje takže je v uzávěru množiny Pokud je v pak každé okolí bodu obsahuje nějaký bod množiny (jiný než ), takže je opět v uzávěru množiny Což uzavírá důkaz.

Důsledek tohoto výsledku nám dává charakterizaci uzavřených množin: Množina je uzavřený právě tehdy, když obsahuje všechny své limitní body.

Rozšířený obsah

Důkaz 1: je uzavřená právě tehdy, když se rovná svému uzávěru, právě tehdy, když právě tehdy, když je obsaženo v

Důkaz 2: Nechť je uzavřená množina a je její limitní bod. Pokud není v pak doplněk do zahrnuje nějaké otevřené okolí bodu Protože je limitní bod množiny jakékoli otevřené okolí bodu musí mít netriviální průnik s Množina však nemůže mít netriviální průnik se svým doplňkem. Pro opačmým směr důkazu předpokládáme, že obsahuje všechny své limitní body. Ukážeme, že doplněk množiny je otevřená množina. Nechť je bod v doplňku množiny Podle předpokladu není limitní bod a tedy existuje otevřené okolí bodu , které neprotíná a tak celé leží v doplňku množiny Protože tento argument platí pro libovolné v doplňku množiny doplněk množiny lze vyjádřit jako sjednocení otevřených okolí bodů v doplňku množiny Proto je doplněk množiny otevřený.

Žádný izolovaný bod není limitním bodem jakékoli množiny.

Rozšířený obsah

Pokud je izolovaný bod, pak je okolí bodu , které neobsahuje žádné jiné body než

Prostor je diskrétním prostorem právě tehdy, když žádná jeho podmnožina nemá limitní bod.

Rozšířený obsah

Pokud je diskrétní, pak každý její bod je izolovaný a nemůže být limitním bodem žádné množiny. Naopak, pokud není diskrétní, pak existuje jednoprvková množina , která není otevřená. Proto každé otevřené okolí množiny obsahuje bod takže je limitním bodem množiny

Pokud prostor triviální topologii a je jeho podmnožina s více než jedním prvkem, pak všechny prvky množiny jsou limitní body množiny Pokud je jednoprvková množina, pak každý bod množiny je limitním bodem množiny

Rozšířený obsah

Pokud je neprázdná, její uzávěr je Uzávěr je prázdný pouze tehdy, když je prázdná nebo když je jediným prvkem množiny

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Poznámky[editovat | editovat zdroj]

  1. Difference between boundary point & limit point. [online]. 2021-01-13. Dostupné online. 
  2. What is a limit point [online]. 2021-01-13. Dostupné online. 
  3. Examples of Accumulation Points [online]. 2021-01-13. Dostupné online. 
  4. Bourbaki 1989, s. 68-83.
  5. Dugundji 1966, s. 209-210.
  6. Munkres 2000, s. 97-102.

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Limit point na anglické Wikipedii.

Související články[editovat | editovat zdroj]