Kostra grafu

V teorii grafů je kostra souvislého grafu G takový podgraf souvislého grafu G na množině všech jeho vrcholů, který je stromem.

Příklady

Kružnice na n vrcholech (graf $C_{n}$ ) má právě n různých koster.
Libovolný strom má jedinou kostru – sám sebe.
Úplný graf na n vrcholech má právě $n^{n-2}$ různých koster (tzv. Cayleyho vzorec).

Algoritmy pro hledání kostry

Libovolná kostra

Následující základní algoritmus je schopen nalézt nějakou (blíže neurčenou) kostru:

Nechť $G=(V,E)$ je graf s n vrcholy a m hranami; seřaďme hrany G libovolně do posloupnosti $(e_{1},e_{2},\ldots ,e_{m})$ ; položme $E_{0}=\emptyset$ .
Byla-li již nalezena množina $E_{i-1}$ $E_{i-1}$ , spočítáme množinu $E_{i}$ $E_{i}$ takto:
- $E_{i}=E_{i-1}$ ∪ { $e_{i}$ }, neobsahuje-li graf (V, $E_{i-1}$ ∪ ${e_{i}}$ ) kružnici,
- $E_{i}=E_{i-1}$ jinak.
Algoritmus se zastaví, jestliže buď $E_{i}$ již obsahuje n − 1 hran nebo i = m, tedy se probraly všechny hrany z G. Graf $T=(V,E_{i})$ pak představuje kostru grafu G.

Minimální kostra

Je-li navíc definována funkce $w:{\mathit {E}}\rightarrow \mathbb {R}$ (tzv. ohodnocení hran), má smysl hledat minimální kostru – tedy takovou kostru $({\mathit {V}},{\mathit {E}}')$ , že výraz

w(E')=\sum _{e\in {\mathit {E}}'}w(e)

nabývá minimální hodnoty.

Tuto úlohu řeší několik algoritmů, které jsou označovány jako hladové, neboť jednou provedená rozhodnutí už nikdy nemění, čili „hladově“ postupují přímo k řešení.

Předpokládejme, že je dán souvislý graf G = (V, E) s ohodnocením w:

Kruskalův algoritmus

Předpokládejme navíc, že hrany jsou uspořádány tak, že platí $w(e_{1})\leq w(e_{2})\leq \ldots \leq w(e_{m})$ .

Pro toto uspořádání provedeme algoritmus pro hledání libovolné kostry (viz výše).

Borůvkův algoritmus

Předpokládejme, že ohodnocení hran v grafu je prosté. Algoritmus pracuje ve fázích tak, že postupně spojuje komponenty souvislosti (na počátku je každý vrchol komponentou souvislosti) do větších a větších celků, až zůstane jen jediný, a to je hledaná minimální kostra. V každé fázi vybere pro každou komponentu souvislosti hranu s co nejnižší cenou, která směřuje do jiné komponenty souvislosti a tu přidá do kostry.

Jarníkův algoritmus

Nechť $|{\mathit {V}}|=n$ a $|{\mathit {E}}|=m$ . Položme ${\mathit {E_{0}}}=\emptyset \;,{\mathit {V_{0}}}=\{v\}$ , kde v je libovolný vrchol G.
Nalezneme hranu $e_{i}=\{x_{i},y_{i}\}\in {\mathit {E(G)}}$ nejmenší možné váhy z množiny hran takových, že $x_{i}\in {\mathit {V}}_{i-1},y_{i}\in {\mathit {V}}\setminus {\mathit {V}}_{i-1}$ .
Položíme ${\mathit {V_{i}}}={\mathit {V}}_{i-1}\cup \{y_{i}\}$ a ${\mathit {E_{i}}}={\mathit {E}}_{i-1}\cup \{e_{i}\}$ .
Pokud žádná taková hrana neexistuje, algoritmus končí a $T=({\mathit {V_{i}}},{\mathit {E_{i}}})$ , jinak pokračuj krokem 2.

Nejrychlejší známý deterministický algoritmus pro hledání minimální kostry grafu vytvořil Bernard Chazelle modifikací Borůvkova algoritmu. Asymptotická časová složitost tohoto algoritmu je O(E α(V)), kde α je inverzní Ackermannova funkce.

Literatura

Jiří Matoušek, Jaroslav Nešetřil: Kapitoly z diskrétní matematiky, nakladatelství Karolinum, Praha 2002, ISBN 80-246-0084-6
Jakub Černý: Základní grafové algoritmy (texty v pdf)

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu kostra grafu na Wikimedia Commons
Kruskalův algoritmus- animace a příklady, bakalářská práce z MFF UK
Maximální kostra grafu – využití algoritmu pro zjištění maximální kostry grafu pro link building