Kostra grafu

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Kostra (červeně) grafu (černě)

V teorii grafů je kostra souvislého grafu G takový podgraf souvislého grafu G na množině všech jeho vrcholů, který je stromem.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Kružnice na n vrcholech (graf ) má právě n různých koster.
  • Libovolný strom má jedinou kostru – sám sebe.
  • Úplný graf na n vrcholech má právě různých koster (tzv. Cayleyho vzorec).

Algoritmy pro hledání kostry[editovat | editovat zdroj]

Libovolná kostra[editovat | editovat zdroj]

Následující základní algoritmus je schopen nalézt nějakou (blíže neurčenou) kostru:

  1. Nechť je graf s n vrcholy a m hranami; seřaďme hrany G libovolně do posloupnosti ; položme .
  2. Byla-li již nalezena množina , spočítáme množinu takto:
    • ∪ {}, neobsahuje-li graf (V, ) kružnici,
    • jinak.
  3. Algoritmus se zastaví, jestliže buď již obsahuje n − 1 hran nebo i = m, tedy se probraly všechny hrany z G. Graf pak představuje kostru grafu G.

Minimální kostra[editovat | editovat zdroj]

Minimální kostra grafu

Je-li navíc definována funkce (tzv. ohodnocení hran), má smysl hledat minimální kostru – tedy takovou kostru , že výraz

nabývá minimální hodnoty.

Tuto úlohu řeší několik algoritmů (předpokládejme, že je dán souvislý graf G = (V, E) s ohodnocením w):

Kruskalův („hladový“) algoritmus[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Kruskalův algoritmus.

Předpokládejme navíc, že hrany jsou uspořádány tak, že platí .

Pro toto uspořádání provedeme algoritmus pro hledání libovolné kostry (viz výše). Algoritmus se označuje jako hladový, neboť jednou dosažená rozhodnutí už nikdy nezmění, „hladově“ postupuje přímo k řešení.

Borůvkův algoritmus[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Borůvkův algoritmus.

Předpokládejme, že ohodnocení hran v grafu je prosté. Algoritmus pracuje ve fázích tak, že postupně spojuje komponenty souvislosti (na počátku je každý vrchol komponentou souvislosti) do větších a větších celků, až zůstane jen jediný, a to je hledaná minimální kostra. V každé fázi vybere pro každou komponentu souvislosti hranu s co nejnižší cenou, která směřuje do jiné komponenty souvislosti a tu přidá do kostry.

Jarníkův algoritmus[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Jarníkův algoritmus.
  1. Nechť a . Položme , kde v je libovolný vrchol G.
  2. Nalezneme hranu nejmenší možné váhy z množiny hran takových, že .
  3. Položíme a .
  4. Pokud žádná taková hrana neexistuje, algoritmus končí a , jinak pokračuj krokem 2.


Nejrychlejší známý deterministický algoritmus pro hledání minimální kostry grafu vytvořil Bernard Chazelle modifikací Borůvkova algoritmu. Asymptotická časová složitost tohoto algoritmu je O(E α(V)), kde α je inverzní Ackermannova funkce.

Reference[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]