Keplerova úloha

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Keplerova úloha je v klasické mechanice problém dvou těles, které spolu interagují centrálními silami, jejichž velikost závisí na druhé mocnině vzdálenosti těchto těles (gravitační síla, elektrická síla, magnetická síla). Úkolem je nalézt, jak se s časem mění poloha nebo rychlost těchto těles.

Keplerova úloha byla nazvána po Johannu Keplerovi, který objevil Keplerovy zákony, které jsou řešením Keplerovy úlohy.

Odvození tvaru trajektorie a pohybové rovnice pro tělesa mezi nimiž působí gravitační síla[editovat | editovat zdroj]

Mějme tělesa o hmotnostech a , velikost síly, kterou se přitahují je dána vztahem

,

kde je gravitační konstanta a vzdálenost těles. Této síle odpovídá potenciální energie

.

Lagrangián soustavy je pak dán výrazem

,

kde a jsou polohové vektory prvního a druhého tělesa.

Ukazuje se výhodnější pracovat v těžišťové soustavě, zavedeme tedy nové proměnné

,

,

kde první popisuje polohu těžiště a druhá relativní polohu prvního tělesa.

Lagrangián v těchto proměnných má tvar

,

Kde

a

.

Zde je zřejmé, že proměnná je cyklická (vystupuje v lagrangiánu pouze zderivovaná), a proto je výraz integrálem pohybu, což představuje zákon zachování hybnosti soustavy. Dále se můžeme omezit na případ, kdy se v naší soustavě těžiště nepohybuje. Lagrangián ve sférických souřadnicích má pak tvar

.

Lze přitom ukázat, že pokud je na začátku pohyb takový, že a , pak pro další časy zůstane 90°. Proto můžeme tuto proměnnou položit této hodnotě rovnu a více se jí nezabývat (pohyb se tedy odehrává v rovině z=0), lagrangián má pak tvar.

.

Což je ekvivalentní (lagrangián je možno násobit konstantou, protože to nemá vliv na podobu pohybových rovnic):

Lagrangeovy pohybové rovnice druhého druhu mají pro tento lagrangián tvar:

Plocha opsaná průvodičem planety za stejný čas.

První rovnice představuje zákon zachování momentu hybnosti, jenž je úměrný konstantě , druhá pak tomu, že radiální zrychlení je úměrné součtu odstředivé a gravitační síly. Zákon zachování momentu hybnosti je přitom ekvivalentní tomu, že plocha opsaná průvodičem za jednotku času je konstantní (rovna ). Odvodili jsme tedy druhý Keplerův zákon.

Dosadíme-li první rovnici do druhé, získáváme diferenciální rovnici druhého řádu pro proměnnou .

Při řešení této rovnice je výhodnější přejít k proměnné , potom totiž máme:

Označíme-li , dostáváme

.

Po dosazení do původní rovnice získáváme Binetův vzorec

,

Což je rovnice pro lineární harmonický oscilátor s konstantní pravou stranou. Obecné řešení má tedy tvar

Rovnice vypočtené křivky v polárních souřadnicích tedy je

,

kde

.

Z posledního výrazu je patrné, že se jedná o předpis kuželosečky v polárních souřadnicích. Přičemž představuje parametr kuželosečky a její excentricitu. Výsledná křivka je tedy kružnice, elipsa, parabola nebo hyperbola. Odvodili jsme tedy první Keplerův zákon. Speciálně planety se pohybují po elipsách a Slunce je v ohnisku.

Perioda oběhu po elipse[editovat | editovat zdroj]

Nejprve se budeme zabývat kružnicí a elipsou, tedy když je numerická excentricita . V tomto případě je křivka uzavřená a tedy lze vypočítat periodu oběhu.

Ta musí být rovna poměru obsahu elipsy a toho, jaký obsah opíše průvodič za sekundu, tedy

,

kde a je velká a malá poloosa elipsy.

Přitom z předpisu elipsy v polárním tvaru je zřejmé, že platí

,

dále pak dle definice výše

nakonec ještě využijeme základní vztah pro elipsu

.

Po dosazení do rovnice pro periodu oběhu máme

Úpravou získáváme třetí Keplerův zákon v obvyklém tvaru.

Byly tedy odvozeny všechny tři Keplerovy zákony. Všimněme si, že perioda oběhu závisí pouze na velikosti hlavní poloosy, nikoliv na excentricitě elipsy.

Keplerova rovnice[editovat | editovat zdroj]

Pro podrobnější diskusi je třeba odvodit i závislost relativní poloh těles na čase, nikoliv jen trajektorii letu. Tato závislost je dána Keplerovou rovnicí.

V tomto případě je výhodnější místo závislosti na čase zkoumat závislost excentrické anomálie , která je pro tento účel výhodnější parametrizací.

Pro elipsu přitom platí

Kde osa x míří k perihelu, tedy do místa, kdy je planeta nejblíže. Střed soustavy leží v ohnisku elipsy.

Související články[editovat | editovat zdroj]