Keplerova úloha

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Keplerova úloha je v klasické mechanice problém dvou těles, které spolu interagují centrálními silami, jejichž velikost závisí na druhé mocnině vzdálenosti těchto těles (gravitační síla, elektrická síla, magnetická síla). Úkolem je nalézt, jak se s časem mění poloha nebo rychlost těchto těles.

Keplerova úloha byla nazvána po Johannu Keplerovi, který objevil Keplerovy zákony, které jsou řešením Keplerovy úlohy.

Odvození tvaru trajektorie a pohybové rovnice pro tělesa mezi nimiž působí gravitační síla[editovat | editovat zdroj]

Mějme tělesa o hmotnostech m_1 a m_2, velikost síly, kterou se přitahují je dána vztahem

F=\frac{G m_1 m_2}{r^2},

kde G je gravitační konstanta a r vzdálenost těles. Této síle odpovídá potenciální energie

V=-\frac{G m_1 m_2}{r}.

Lagrangián soustavy je pak dán výrazem

L=T-V=\frac{1}{2}m_1 \dot{\rm{x}}_1^2 + \frac{1}{2}m_2 \dot{\rm{x}}_2^2 + \frac{G m_1 m_2}{|\rm{x}_2-\rm{x}_1|},

kde \rm{x}_1 a \rm{x}_2 jsou polohové vektory prvního a druhého tělesa.

Ukazuje se výhodnější pracovat v těžišťové soustavě, zavedeme tedy nové proměnné

\rm{X}=\frac{m_1 \rm{x}_1 + m_2 \rm{x}_2}{m_1 + m_2},

\rm{x}=\rm{x}_1 - \rm{x}_2,

kde první popisuje polohu těžiště a druhá relativní polohu prvního tělesa.

Lagrangián v těchto proměnných má tvar

L=\frac{1}{2}M \dot{\rm{X}}^2 + \frac{1}{2}\mu \dot{\rm{x}}^2 + \frac{G m_1 m_2}{|\rm{x}|},

Kde

M=m_1 + m_2

a

\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}.

Zde je zřejmé, že proměnná \rm{X} je cyklická (vystupuje v lagrangiánu pouze zderivovaná), a proto je výraz M \dot{X} integrálem pohybu, což představuje zákon zachování hybnosti soustavy. Dále se můžeme omezit na případ, kdy se v naší soustavě těžiště nepohybuje. Lagrangián ve sférických souřadnicích má pak tvar

L= \frac{1}{2}\mu (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 + r^2 \sin^2 \theta \dot{\varphi}^2)+\frac{G m_1 m_2}{r}.

Lze přitom ukázat, že pokud je na začátku pohyb takový, že \theta =90 a \dot{\theta}=0, pak pro další časy \theta zůstane 90°. Proto můžeme tuto proměnnou položit této hodnotě rovnu a více se jí nezabývat (pohyb se tedy odehrává v rovině z=0), lagrangián má pak tvar.

L= \frac{1}{2}\mu (\dot{r}^2  + r^2 \dot{\varphi}^2)+\frac{G m_1 m_2}{r}.

Což je ekvivalentní (lagrangián je možno násobit konstantou, protože to nemá vliv na podobu pohybových rovnic):

L= \frac{1}{2} (\dot{r}^2  + r^2 \dot{\varphi}^2)+\frac{G M}{r}

Lagrangeovy pohybové rovnice druhého druhu mají pro tento lagrangián tvar:

r^2 \dot{\varphi} = l

\ddot{r} = r \dot{\varphi}^2 -\frac{G M}{r^2}

Plocha opsaná průvodičem planety za stejný čas.

První rovnice představuje zákon zachování momentu hybnosti, jenž je úměrný konstantě l, druhá pak tomu, že radiální zrychlení je úměrné součtu odstředivé a gravitační síly. Zákon zachování momentu hybnosti je přitom ekvivalentní tomu, že plocha opsaná průvodičem za jednotku času je konstantní (rovna l/2). Odvodili jsme tedy druhý Keplerův zákon.

Dosadíme-li první rovnici do druhé, získáváme diferenciální rovnici druhého řádu pro proměnnou r.

\ddot{r} =\frac{l^2}{r^3} -\frac{G M}{r^2}

Při řešení této rovnice je výhodnější přejít k proměnné u=\frac{1}{r}, potom totiž máme:

\dot{r}= \frac{d}{dt} \frac{1}{u} = -\frac{1}{u^2} \frac{du}{d\varphi} \frac{d\varphi}{dt}=-l \frac{du}{d\varphi}

Označíme-li u'=\frac{du}{d\varphi}, dostáváme

\ddot{r}=-l u'' \dot{\varphi} = -l^2 u^2 u''.

Po dosazení do původní rovnice získáváme Binetův vzorec

u''+u=\frac{GM}{l^2},

Což je rovnice pro lineární harmonický oscilátor s konstantní pravou stranou. Obecné řešení má tedy tvar

u(\varphi) = A \cos (\varphi - \varphi_0) + \frac{GM}{l^2}

Rovnice vypočtené křivky v polárních souřadnicích tedy je

r = \frac{1}{\frac{GM}{l^2}+ A \cos (\varphi - \varphi_0)} = \frac{\frac{l^2}{GM}}{1+ A\frac{l^2}{GM} \cos (\varphi - \varphi_0)}=\frac{p}{1+ \varepsilon \cos (\varphi - \varphi_0)},

kde

p = \frac{l^2}{GM}

\varepsilon = A\frac{l^2}{GM}.

Z posledního výrazu je patrné, že se jedná o předpis kuželosečky v polárních souřadnicích. Přičemž p představuje parametr kuželosečky a \varepsilon její excentricitu. Výsledná křivka je tedy kružnice, elipsa, parabola nebo hyperbola. Odvodili jsme tedy první Keplerův zákon. Speciálně planety se pohybují po elipsách a Slunce je v ohnisku.

Perioda oběhu po elipse[editovat | editovat zdroj]

Nejprve se budeme zabývat kružnicí a elipsou, tedy když je numerická excentricita \varepsilon < 1. V tomto případě je křivka uzavřená a tedy lze vypočítat periodu oběhu.

Ta musí být rovna poměru obsahu elipsy a toho, jaký obsah opíše průvodič za sekundu, tedy

T=\frac{2\pi a b}{l},

kde a a b je velká a malá poloosa elipsy.

Přitom z předpisu elipsy v polárním tvaru je zřejmé, že platí

2a = \frac{p}{1+\varepsilon} +\frac{p}{1-\varepsilon}= \frac{2p}{1-\varepsilon^2},

dále pak dle definice výše

p=\frac{l^2}{GM}

nakonec ještě využijeme základní vztah pro elipsu

b=a\sqrt{1-\varepsilon^2}.

Po dosazení do rovnice pro periodu oběhu máme

T= \frac{2\pi a^2 \sqrt{1-\varepsilon^2}}{\sqrt{GMp}}=\frac{2\pi a^2 \sqrt{1-\varepsilon^2}}{\sqrt{GMa(1-\varepsilon^2)}}=\frac{2\pi}{\sqrt{GM}} a^{\frac{3}{2}}

Úpravou získáváme třetí Keplerův zákon v obvyklém tvaru.

\frac{a^3}{T^2} = \frac{GM}{4\pi^2}

Byly tedy odvozeny všechny tři Keplerovy zákony. Všimněme si, že perioda oběhu závisí pouze na velikosti hlavní poloosy, nikoliv na excentricitě elipsy.

Keplerova rovnice[editovat | editovat zdroj]

Pro podrobnější diskusi je třeba odvodit i závislost relativní poloh těles na čase, nikoliv jen trajektorii letu. Tato závislost je dána Keplerovou rovnicí.

V tomto případě je výhodnější místo závislosti \varphi na čase zkoumat závislost excentrické anomálie E, která je pro tento účel výhodnější parametrizací.

Pro elipsu přitom platí

x=a\cos E-\varepsilon a

y=b\sin E

Kde osa x míří k perihelu, tedy do místa, kdy je planeta nejblíže. Střed soustavy leží v ohnisku elipsy.