Kartézská mocnina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Kartézská mocnina je matematický pojem z oboru teorie množin, odvozovaný z kartézského součinu podobným způsobem, jako je běžně používaná aritmetická mocnina odvozena ze součinu.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Základní definice pro přirozené exponenty[editovat | editovat zdroj]

Pokud je množina a přirozené číslo, pak kartézskou mocninou rozumíme - násobný kartézský součin množiny se sebou samou:

Speciálně pro dostáváme jako množinu všech uspořádaných dvojic prvků z , pro dostáváme jako množinu všech uspořádaných trojic prvků z .

Obecná definice[editovat | editovat zdroj]

Předchozí definici lze zobecnit tak, aby se nevztahovala pouze na konečné množiny:

Kartézskou mocninou množin a rozumíme množinu všech zobrazení množiny do množiny .

Všimněme si, že konkrétně pro Y konečné odpovídá tato definice (až na izomorfismus, jak bude vidět v následujícím příkladu, ale tím se není třeba zatěžovat) výše uvedené základní definici – všechny uspořádané dvojice z nejsou nic jiného, než všechna zobrazení dvouprvkové množiny ( nebo ) do . (Uspořádané n-tice prvků určité množiny se standardně definují jako zobrazení z {0,1,… n} nebo {1,2,… n} do této množiny.) Zajímavá začíná být tato definice pro nekonečné .

Pokud vezmeme za množinu všech přirozených čísel , dostáváme kartézskou mocninu – tj. množinu všech nekonečných posloupností prvků množiny .

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Mezi výše uvedenými definicemi je přece jen nepatrný rozdíl. Ukážeme si to na následujícím příkladu:

  • podle první definice je

  • podle druhé definice je

Obě množiny se sice nepatrně liší způsobem, jakým je realizována posloupnost dvou prvků (v prvním případě jako uspořádaná dvojice, ve druhém jako zobrazení z dvouprvkové množiny), ale strukturu mají shodnou – jsou izomorfní.

Užití[editovat | editovat zdroj]

  • Běžná analytická geometrie pracuje obvykle v afinní rovině nebo v afinním prostoru – což není nic jiného, než množiny a ( jako je zde označována množina všech reálných čísel).
  • Veškeré úvahy teorie množin týkající se binárních relací (například o ekvivalencích nebo o uspořádáních na dané množině ) se odehrávají v množině uspořádaných dvojic z dané množiny, tj. v kartézské mocnině .
  • Posloupnosti na množině reálných čísel nejsou nic jiného, než prvky množiny .
  • Obecná (druhá) definice se používá v kardinální aritmetice k definici kardinální mocniny.
  • Každá algebraická struktura je obvykle definována jako nějaká množina , na které jsou zavedeny nějaké (nejčastěji binární) operace. Tyto operace nejsou nic jiného, než zobrazení do (obecněji do , kde je arita konkrétní operace).

Související články[editovat | editovat zdroj]