Ireducibilní reprezentace

Ireducibilní reprezentace grupy je taková reprezentace, která nemá netriviální invariantní podprostory. Ireducibilní reprezentace a jejich dimenze mají mnohem větší vypovídací hodnotu o struktuře grupy než obecné reprezentace, protože množinu ireducibilních reprezentací nelze libovolně rozšiřovat.

Definice

Nechť je dvojice $(\pi ,V)$ reprezentací grupy $G$ , kde $V$ je vektorový prostor a $\pi$ je homomorfizmus z grupy $G$ do prostoru lineárních operátorů (matic) působících na $V$ .

Reprezentace se nazývá ireducibilní, právě když neexistuje žádný netriviální invariantní podprostor $W\subset V$ (triviální podprostory jsou nulový prostor $\{0\}$ a $W=V$ ). Existence takového podprostoru by umožňovala definovat samostatnou podreprezentaci $(\pi _{2},W)$ . Reprezentace, které nejsou ireducibilní, se nazývají reducibilní.^[1]

Vlastnosti

Celkový počet ireducibilních reprezentací grupy je stejný jako počet tříd sdružených prvků $N$ . Toho se využívá při studiu grup pomocí tabulek charakterů.

Každá grupa konečného řádu (nebo kompaktní Lieova grupa) má pouze konečněrozměrné ireducibilní reprezentace.^[1] Existuje však ještě mnohem silnější tvrzení — lze dokázat, že řád grupy $\#G$ je roven součtu čtverců dimenzí $d_{\mu }$ všech jejích ireducibilních reprezentací, tedy

\#G=\sum \limits _{\mu =1}^{N}d_{\mu }^{2}.

S tím souvisí také speciální případ pro abelovy grupy, jejichž ireducibilní reprezentace jsou vždy pouze jednorozměrné.

Schurovo lema

Důležitým nástrojem pro určování ireducibility je Schurovo lema:

Mějme matici $M$ , která komutuje se všemi maticemi dané reprezentace grupy. Reprezentace je ireducibilní, právě když každá taková matice $M$ je násobkem jednotkové matice,^[2]

M=\lambda \mathbb {I} .

Odkazy

Reference

1 2 KOSMANN-SCHWARZBACH, Yvette. Groups and Symetries. Překlad Stephanie Frank Singer. 2. vyd. [s.l.]: Springer, 2022. 251 s. Dostupné online. ISBN 978-3-030-94359-2. S. 15. (anglicky)
↑ WOIT, Peter. Quantum Theory, Groups and Representations. 1. vyd. [s.l.]: Springer, 2022. 668 s. Dostupné online. ISBN 978-3-319-64610-7. S. 17–19. (anglicky)

Literatura

KOSMANN-SCHWARZBACH, Yvette. Groups and Symetries. Překlad Stephanie Frank Singer. 2. vyd. [s.l.]: Springer, 2022. 251 s. Dostupné online. ISBN 978-3-030-94359-2. (anglicky)
WOIT, Peter. Quantum Theory, Groups and Representations. 1. vyd. [s.l.]: Springer, 2022. 668 s. Dostupné online. ISBN 978-3-319-64610-7. (anglicky)

Související články

Pahýl

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.

[yvet-1] 1 2 KOSMANN-SCHWARZBACH, Yvette. Groups and Symetries. Překlad Stephanie Frank Singer. 2. vyd. [s.l.]: Springer, 2022. 251 s. Dostupné online. ISBN 978-3-030-94359-2. S. 15. (anglicky)

[2] WOIT, Peter. Quantum Theory, Groups and Representations. 1. vyd. [s.l.]: Springer, 2022. 668 s. Dostupné online. ISBN 978-3-319-64610-7. S. 17–19. (anglicky)

[1]

[2]