Integrálsinus

Graf funkce Si(x) pro 0 ≤ x ≤ 8 π.

Integrálsinus je matematický pojem označující funkci definovanou jako integrál

$\operatorname {Si} \,x=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}dt=x-{\frac {x^{3}}{3\cdot 3!}}+{\frac {x^{5}}{5\cdot 5!}}-{\frac {x^{7}}{7\cdot 7!}}+\cdots$,

který není vyjádřitelný pomocí elementárních funkcí. Řada byla získána prostým integrováním mocninné řady pro ${\frac {\sin x}{x}}$ člen po členu. V bodě $x=0$ má funkce hodnotu 0.

Z tvaru mocninné řady je zřejmé, že jde o funkci lichou. Pro $x>0$ má extrémy v bodech $n\pi$, kde $n$ je přirozené číslo, přičemž lichým $n$ odpovídají maxima a sudým minima.

Pomocí reziduové věty lze vypočítat, že

$\lim _{x\to \infty }\operatorname {Si} \,x=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}dt={\frac {\pi }{2}}$

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Integrálsinus na Wikimedia Commons