Integrální křivka

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Tři integrální křivky pro gradientní pole odpovídající diferenciální rovnici dy / dx = x2 − x − 1.

Integrální křivka v matematice je parametrická křivka, která reprezentuje nějaké řešení obyčejné diferenciální rovnice nebo systému rovnic. Pokud je diferenciální rovnice reprezentována jako vektorové pole nebo gradientní pole, pak odpovídajícím integrální křivky jsou tečnami k poli v každém bodě.

Integrální křivky jsou známé pod různými jinými názvy podle povahy a interpretace diferenciálních rovnic nebo vektorového pole. Ve fyzice jsou integrální křivky elektrického nebo magnetického pole známy jako silokřivky a integrální křivky pro rychlostní pole tekutiny jsou známy jako proudnice. V teorii dynamických systémů integrální křivky pro diferenciální rovnice, které řídí systém nazývají trajektorie nebo orbity.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Předpokládejme, že F je vektorové pole: tj. vektorová funkce s Kartézskými souřadnicemi (F1,F2,...,Fn); a x(t) je parametrická křivka s Kartézskými souřadnicemi (x1(t),x2(t),...,xn(t)). Pak x(t) je integrální křivka funkce F, jestliže je řešením následujícího autonomního systému obyčejných diferenciálních rovnic:

\begin{align}
\frac{dx_1}{dt} &= F_1(x_1,\ldots,x_n) \\ 
&\vdots \\
\frac{dx_n}{dt} &= F_n(x_1,\ldots,x_n).
\end{align}

Takový systém lze zapsat jedinou vektorovou rovnicí

\mathbf{x}'(t) = \mathbf{F}(\mathbf{x}(t)).\!\,

Tato rovnice přesně říká, že tečný vektor ke křivce v libovolném bodě x(t) podél křivky je právě vektor F(x(t)), a tak křivka x(t) je v každém bodě tečnou k vektorovému poli F.

Jestliže dané vektorové pole je Lipschitzovsky spojité, pak z Picardovy–Lindelöfovy věty vyplývá, že existuje unikátní tok pro malý čas.

Zobecnění na derivovatelné variety[editovat | editovat zdroj]

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť M je Banachova varieta třídy Cr pro r ≥ 2. Jako obvykle TM označuje tečný fibrovaný prostor M s jeho přirozenou projekcí πM : TMM danou vztahem

\pi_{M} : (x, v) \mapsto x.

Vektorové pole na M je cross-část tečného svazku TM, tj. přiřazení každému bodu variety M tečného vektoru na M v tomto bodě. Nechť X je vektorové pole na M třídy Cr−1 a nechť pM. Integrální křivka pro X procházející p v čase t0 je křivka α : JM třídy Cr−1, definovaný na otevřený interval J reálné osy R obsahující t0, takový, že

\alpha (t_{0}) = p;\,
\alpha' (t) = X (\alpha (t)) \mbox{ pro všechny } t \in J.

Vztah k obyčejné diferenciální rovnice[editovat | editovat zdroj]

Výše definice integrální křivka α pro vektorové pole X, procházející p v čase t0, je totéž jako říct, že α je lokální řešení obyčejné diferenciální rovnice nebo počáteční úlohy

\alpha (t_{0}) = p;\,
\alpha' (t) = X (\alpha (t)).\,

je lokální v smysl, že je definovaný pouze pro časy v J a ne nezbytně pro všechny tt0 (natož pro tt0). Tedy, problém důkazu existence a jednoznačnosti integrální křivky je totéž jako hledání řešení obyčejné diferenciální rovnice nebo počáteční úloha a ukazuje, že jsou unikátní.

Poznámky k časové derivaci[editovat | editovat zdroj]

Ve významu uvedeném výše α′(t) označuje derivaci α v čase t, „směr, kterým α ukazuje“ v čase t. Z abstraktnější úhlu pohledu to je Fréchetova derivace:

(\mathrm{d}_t f) (+1) \in \mathrm{T}_{\alpha (t)} M.

Ve speciálním případě, kdy M je nějaká otevřená podmnožina Rn, toto je známá derivace

\left( \frac{\mathrm{d} \alpha_{1}}{\mathrm{d} t}, \dots, \frac{\mathrm{d} \alpha_{n}}{\mathrm{d} t} \right),

kde α1, ..., αn jsou souřadnice α vzhledem k obvyklým souřadnicovým směrům.

Totéž lze formulovat ještě abstraktněji v pojmech navozených zobrazení. Všimněte si, že tečný fibrovaný prostor TJ J je triviální fibrovaný prostor J × R, a že existuje kanonická cross-část ι tohoto svazku taková, že ι(t) = 1 (nebo přesněji (t, 1)) pro všechny tJ. Křivka α zavádí bundle map α : TJ → TM tak, že následující diagram komutuje:

CommDiag TJtoTM.png

Pak časová derivace α′ je složení α′ = α o ι a α′(t) je její hodnotou v některém bodě t ∈ J.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  • LANG, Serge. Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont. : Addison-Wesley Publishing Co., Inc., 1972.