Hilbertovy problémy
Seznam 23 takzvaných Hilbertových problémů předložil David Hilbert v roce 1900 ve své přednášce Problémy matematiky na 2. mezinárodním kongresu matematiků v Paříži. Tyto problémy představovaly největší tehdy nevyřešené matematické problémy. Velká část těchto problémů je již dnes vyřešena, přičemž jejich řešení významně ovlivnilo matematiku 20. století.
Seznam problémů
| Stav | Popis | Příbuzné téma | |
|---|---|---|---|
| 1a. | vyřešeno | Existuje množina, jejíž kardinalita by byla menší než kardinalita množiny reálných čísel, ale větší než kardinalita spočetné nekonečné množiny? | Hypotéza kontinua |
| 1b. | vyřešeno | Je kontinuum reálných čísel dobře uspořádaná množina? | Axiom výběru |
| 2. | vyvráceno | Lze dokázat, že axiomy logiky jsou bezesporné? | Gödelova věta |
| 3. | vyvráceno | Existují dva mnohostěny o stejném objemu, které není možno přeskládat jeden v druhý? | 3. Hilbertův problém |
| 4. | v podstatě vyřešeno | Najděte geometrie, které jsou při zachování axiomů přímky a kružnice, oslabení axiomu pravého úhlu a odstranění axiomu o rovnoběžkách nejbližší Eukleidovské geometrii. | 4. Hilbertův problém |
| 5. | dokázáno | Lze u funkcí definujících spojitou transformační grupu automaticky předpokládat diferencovatelnost? | Lieova grupa |
| 6. | otevřený problém | Axiomatizujte fyziku. | 6. Hilbertův problém |
| 7. | částečně dokázáno | Je ab transcendentní číslo pro každé algebraické číslo a ≠ 0,1 a iracionální číslo b? | Gelfondova věta |
| 8. | otevřený problém | Dokažte Riemannovu hypotézu. | Riemannova hypotéza |
| 9. | částečně vyřešeno | Zobecněte reciproční věty teorie čísel. | Artinova věta |
| 10. | vyvráceno | Existuje algoritmus, který je schopen pro libovolnou diofantickou rovnici určit, má-li řešení? | Matijasevičova věta |
| 11. | částečně vyřešeno | Zobecnění teorie kvadratických forem pro libovolné algebraické těleso konečného stupně. | 11. Hilbertův problém |
| 12. | v podstatě vyřešeno | Zobecnění Kroneckerovy věty pro obecné algebraické těleso. | Takagiho věta |
| 13. | částečně dokázáno | Dokažte, že obecnou rovnici sedmého stupně nelze vyřešit pomocí kompozice funkcí dvou proměnných. | Arnol'dova věta |
| 14. | v podstatě vyvráceno | Důkaz konečnosti jistého systému funkcí. | 14. Hilbertův problém |
| 15. | vyřešeno | Rigorózně podložit algebraickou geometrii, obzvláště Schubertovu výpočetní geometrii. | Schubertova výpočetní geometrie |
| 16. | otevřený problém | Studium topologie reálných algebraických křivek a povrchů. | 16. Hilbertův problém |
| 17. | vyřešeno | Nalézt způsob, jak vyjádřit definitní racionální funkci jako součet čtverců racionálních funkcí. | 17. Hilbertův problém |
| 18. | vyřešeno | Lze zaplnit prostor pomocí nepravidelného opakování mnohostěnů? | 18. Hilbertův problém |
| 19. | vyřešeno | Jsou řešení problémů ve variačním počtu vždy algebraická? | 19. Hilbertův problém |
| 20. | v podstatě vyřešeno | Řešení obecných úloh s okrajovými podmínkami. | Dirichletův problém |
| 21. | vyřešeno | Řešení lineárních diferenciálních rovnic při zadané charakteristické grupě. | 21. Hilbertův problém |
| 22. | vyřešeno | Uniformizace komplexních analytických funkcí pomocí automorfních funkcí. | 22. Hilbertův problém |
| 23. | v podstatě vyřešeno | Rozšíření metod variačního počtu. | Variační počet |