Hellyho věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Hellyho věta je základní výsledek kombinatorické geometrie. Popisuje způsob, jak se konvexní množiny protínají a jaké podmínky musí systém konvexních množin splňovat, abychom mohli zaručit, že existuje bod, který je obsažen v každé množině ze systému. Poprvé byla objevena Eduardem Hellym v roce 1913.

Znění věty[editovat | editovat zdroj]

  • Nechť je konečný systém alespoň konvexních množin v . Pokud každých množin z má neprázdný průnik, potom celá má neprázdný průnik.


  • Symbolicky zapsáno:

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Označíme a zafixujeme . Důkaz provedeme matematickou indukcí podle a použijeme Radonovo lemma.

Věta platí triviálně.
Definuji .
Podle indukčního předpokladu věta platí pro , tedy body jsou dobře definované.
Potom podle Radonova lemmatu lze tyto body rozdělit do množin tak, že .
Definuji a tvrdím, že :
Dokážu, že . Nechť libovolně. Potom platí buď nebo . Bez újmy na obecnosti nechť . Potom každý bod z leží v , protože v leží každý bod z kromě . Když tam leží každý bod z , určitě tam leží i jejich konvexní obal, protože je konvexní. Takže a z definice platí . Tedy .

Nekonečná verze[editovat | editovat zdroj]

Věta neplatí, pokud je nekonečná. Protipříklad v by byl například : tvoří konvexní otevřené množiny, kde každé dvě mají neprázdný průnik, ale pro každý bod bude existovat .

Platí ovšem podobná věta, když budeme vyžadovat kompaktnost množin:

  • Nechť je libovolný systém alespoň kompaktních konvexních množin v . Pokud každých množin z má neprázdný průnik, potom celá má neprázdný průnik.

Toto tvrzení lehce vyplývá z konečné verze. Podle ní každá konečná podmnožina má neprázdný průnik. Je základní vlastností kompaktních množin, že pokud každá její konečná podmnožina má neprázdný průnik, celá množina má neprázdný průnik (princip kompaktnosti).

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • HELLY, E. Über Mengen konvexer Körper mit gemeinschaftlichen Punkten. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 1923, s. 175–176. (anglicky) .