Gömböc

Gömböc ve stabilní rovnovážné poloze

Pohyb gömböcu po vychýlení ze stabilního stavu

Gömböc (maďarská výslovnost [ˈɡømbøts]) je první známé homogenní konvexní trojrozměrné těleso, které má pouze jeden stabilní a jeden nestabilní bod rovnováhy. Pokud je položeno na rovnou plochu v jakékoli jiné poloze, samovolně se díky své geometrii a gravitaci vrátí do své jediné stabilní polohy.

Historie a matematické pozadí

Existenci tohoto tělesa předpověděl jeden z významných matematiků 20. století, ruský matematik Vladimir Arnold, v roce 1995 vyslovil domněnku, že existuje homogenní konvexní těleso s minimálním počtem bodů rovnováhy (1 stabilní a 1 nestabilní). Taková tělesa se nazývají mono-monostatická. Tato domněnka byla po deseti letech výzkumu potvrzena a jeho existence dokázána dvěma maďarskými matematiky Gáborem Domokosem a Péterem Várkonyim. Tělesa začali studovat a objev učinili po rozhovoru Domokose s Arnoldem. Těleso bylo následně v roce 2006 zkonstruováno.

Původ pojmenování

Název pochází z maďarského slova gömb (koule). Slovem „Gömböc“ jsou v maďarštině označovány zabíjačkové pokrmy něco jako jitrnice nebo tlačenka , ale také se objevuje v maďarských lidových pohádkách jako „Gombóc“ (otesánek), který vše sní.

Geometrické vlastnosti

V geometrii se těleso s jedinou stabilní klidovou polohou nazývá monostatické a termín monomonostatický byl vytvořen pro popis tělesa, které má navíc pouze jeden nestabilní bod rovnováhy. Monomonostatické těleso je pevné těleso, které má právě jeden stabilní a právě jeden nestabilní bod rovnováhy. Když se těleso položí na rovnou podložku, vždy se samo postaví do jediné stabilní polohy. Existuje také právě ještě jedna poloha, ve které je v rovnováze, ale sebemenší vychýlení z této polohy způsobí převrácení. To je nestabilní bod. U těles je tato vlastnost vzácná. U většiny těles je více stabilních i nestabilních bodů.

Koule zatížená tak, že její těžiště je posunuto od geometrického středu, je monomonostatická. Je však nehomogenní, hustota jejího materiálu se v jejím tělese mění. Dalším příkladem nehomogenního monomonostatického tělesa je hračka Panáček vstáváček (viz obrázek).

Panáček vstáváček

Výše uvedené příklady monomonostatických objektů jsou nehomogenní. Dlouho se myslelo, že homogenní monomonostatické těleso neexistuje. Otázku, zda je možné sestrojit trojrozměrné těleso, které je monomonostatické, ale také homogenní a konvexní, nastolil ruský matematik Vladimir Arnold v roce 1995. Konvexnost je nezbytná, protože je triviální sestrojit monomonostatické nekonvexní těleso: příkladem by mohla být koule s dutinou uvnitř.

Gömböc má velmi specifický tvar, který připomíná něco mezi koulí a oblázkem s ostrou hranou. Je homogenní, tzn. má stejnou hustotu, je konvexní, a má jednu stabilní a jednu nestabilní rovnovážnou polohu. Když se libovolně položí, převalí se do stabilní rovnovážné polohy, ale existuje ještě jedna rovnovážná poloha, „na špičce“ – a ta je nestabilní. Tvar Gömböcu je extrémně citlivý na přesnost výroby. Odchylka menší než 0,1 mm u tělesa o velikosti 10 cm může způsobit, že se z Gömböcu stane běžné těleso s více body rovnováhy.

Výskyt v přírodě

Tvar Želvy hvězdnaté připomíná gömböc. Tato želva se snadno převaluje do polohy pravou stranou nahoru, aniž by se příliš spoléhala na své končetiny.

Princip Gömböcu pomohl vysvětlit evoluci tvaru krunýřů některých želv (např. Želva hvězdnatá nebo želvy rodu Testudo). Želvy s vysokým krunýřem se blíží tvaru Gömböcu, což jim umožňuje se snadno přetočit zpět na nohy, pokud se převrátí na záda. Naopak želvy s plochým krunýřem k přetočení potřebují aktivní pomoc krku a končetin.

Výroba a sběratelství

Gömböc je předmětem sběratelství. V roce 2007 začala unikátní sériová výroba gömböců. Kvůli extrémním nárokům na přesnost se gömböce vyrábějí pomocí CNC frézování. Každý kus je individuálně očíslován unikátním sériovým číslem N z intervalu 1 ≤ N ≤ Y, kde Y označuje aktuální rok.. Gömböc č. 001 darovali autoři Vladimiru Arnoldovi k jeho 70. narozeninám. Ten jej daroval Steklovovu matematickému výzkumnému ústavu. V současné době se používají k výrobě tyto materiály: hliníková slitina,mosaz, bronz, nerezová ocel, mramor, plexisklo, stříbro, titan . Rovnovážné vlastnosti jsou ovlivněny nedokonalostmi jak v kouli, tak na povrchu. „Gömböc“ je registrovaná značka a ochranná známka. Jejich obvyklá velikost je 10 cm a každý z nich má logo Gömböc a sériové číslo. Vzhledem k malé toleranci velikosti a malému počtu objednávek je nelze koupit levně.

Odkazy

Související články

• Geometrie
• Těžiště
• Konvexní tělesa

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Gömböc na Wikimedia Commons
• Oficiální stránky Gömböcu (anglicky, maďarsky)