Formální derivace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V matematice, formální derivace označuje operaci nad prvky okruhu polynomů či okruhu mocninných řad, která se chová jako derivace z diferenciálního počtu. Ačkoli vypadají obdobně, výhodou formální derivace je, že nevyžaduje k definici limitní přechod, který v některých okruzích není možno použít. Mnoho vlastností derivací z diferenciálního počtu platí i pro formální derivace, některé naopak ani nedávají smysl. Základním použitím formálních derivací je oddělení kořenů polynomu různé násobnosti.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Pro daný komutativní okruh R nechť A = R[x] je okruh polynomů nad R. Pak formální derivace je operace nad prvky okruhu A, kde pro

je formální derivace

což přesně odpovídá vztahům pro polynomy nad reálnými či komplexními čísly.

(Běžně značíme součet konstantních sčítanců výrazem , v tomto případě uvádíme součet abychom předešli záměně s násobením v okruhu R.)

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Není těžké ověřit, že:

  • Formální derivace je lineární: pro libovolné dva polynomy f(x), g(x) a prvky r, s okruhu R, platí
  • Formální derivace splňuje pravidlo derivace součinu:

Důkazy[editovat | editovat zdroj]

Vztah k derivaci z diferenciálního počtu[editovat | editovat zdroj]

Pokud je okruh R komutativní, existuje alternativní ekvivalentní definice formální derivace, která mnohem víc připomíná definici z diferenciálního počtu. Prvek Y-X okruhu R[X,Y] dělí Yn - Xn pro libovolné nezáporné celé n, a proto dělí f(Y) - f(X) pro libovolný polynom f s jednou proměnnou. Pokud označíme výsledný podíl (v R[X,Y]) pomocí g:

pak není těžké ověřit, že g(X,X) (v R[X]) dává stejnou definici jako formální derivace f definovaná výše.

Tato formulace formální derivace je použitelná i pro mocninné řady, (za předpokladu, že okruh R skalárů je komutativní).

Definice použitelná i pro nekomutativní okruhy[editovat | editovat zdroj]

Nechť pro je nechť Dodefinujme derivaci pro výrazy tak, aby a

Je potřeba dokázat, že takto definovaná derivace dává stejné výsledky nezávisle na tom, jak spočteme daný výraz, tedy, že je kompatibilní se všemi axiomy rovnosti.

a distributivita z druhé strany symetricky.

Linearita je při tomto přístupu samozřejmostí.

Vztah pro derivaci polynomu (ve standardním tvaru pro komutativní okruhy) je přímým důsledkem:

Aplikace pro separaci podpolynomů různých násobností[editovat | editovat zdroj]

Je-li polynom možno napsat ve tvaru , kde polynomy jsou nesoudělné. Pak je možno polynomy postupně od posledního najít vícenásobným použitím největšího společného dělitele polynomu s jeho formální derivací (není potřeba aby polynomy byly nad reálnými či komplexními čísly).