Fermatova-Catalanova domněnka

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V teorii čísel Fermatova–Catalanova domněnka kombinuje nápad Velké Fermatovy věty s Catalanovou větu od čehož je odvozen její název. Domněnka říká, že rovnice:

a^m + b^n = c^k\quad

má pouze konečný počet řešení (a,b,c,m,n,k); kde a, b, c jsou kladná nesoudělná čísla a je jím množina přirozených čísel. Navíc m, n, k jsou kladná celá čísla splňující rovnost:

\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}<1.

Od roku 2008, jsou známa následující řešení:

1^m+2^3=3^2\;
2^5+7^2=3^4\;
13^2+7^3=2^9\;
2^7+17^3=71^2\;
3^5+11^4=122^2\;
33^8+1549034^2=15613^3\;
1414^3+2213459^2=65^7\;
9262^3+15312283^2=113^7\;
17^7+76271^3=21063928^2\;
43^8+96222^3=30042907^2\;

První z nich (1m+23=32) je jediné řešení, kde jedno číslo s trojce (a, b c) je rovno 1; jedná se tedy o Catalanovu větu dokázanou roku 2002 matematikem jehož jméno je Preda Mihăilescu. Technicky vzato, tento případ má obecně nekonečno řešení. Nicméně pro účely odhadu počítáme všechna tato řešení (například volba m>6) jako jedno.

Toto je známe jako Faltingova věta pro nějaké fixované hodnoty kladných čísel m, n a k splňujících druhou uvedenou rovnost, platí, že pro ně existuje konečná množina trojic (a, b, c) řešících první rovnici. Nicméně Fermatova–Catalanova domněnka je mnohem silnější větou.

Na závěr ABC domněnka implikuje Fermatova–Catalanovu domněnku.

Zdroje[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Fermat–Catalan conjecture na anglické Wikipedii.