Fermatova–Catalanova domněnka

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

V teorii čísel Fermatova–Catalanova domněnka kombinuje nápad Velké Fermatovy věty s Catalanovou větu od čehož je odvozen její název. Domněnka říká, že rovnice:

má pouze konečný počet řešení (a,b,c,m,n,k); kde a, b, c jsou kladná nesoudělná čísla a je jím množina přirozených čísel. Navíc m, n, k jsou kladná celá čísla splňující rovnost:

Od roku 2008 jsou známa následující řešení:

První z nich (1m+23=32) je jediné řešení, kde jedno číslo s trojce (a, b c) je rovno 1; jedná se tedy o Catalanovu větu, kterou roku 2002 dokázal Preda Mihăilescu. Technicky vzato má tento případ obecně nekonečno řešení. Nicméně pro účely odhadu se počítají všechna tato řešení (například volba m>6) jako jedno.

Toto je známé jako Faltingova věta pro nějaké fixované hodnoty kladných čísel m, n a k splňujících druhou uvedenou rovnost, platí, že pro ně existuje konečná množina trojic (a, b, c) řešících první rovnici. Fermatova–Catalanova domněnka je nicméně mnohem silnější větou.

ABC domněnka implikuje Fermatovu–Catalanovu domněnku.

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Fermat–Catalan conjecture na anglické Wikipedii.