Faktorová grupa

Faktorová grupa neboli faktorgrupa nebo podílová grupa je v teorii grup grupa odvozená od dvou jiných grup způsobem, který zobecňuje dělení na grupy. V univerzální algebře je možné definovat faktorovou grupu jako grupu, která je faktoralgebrou jiné grupy.

Definice

Rozklady podle podgrupy

• Levým rozkladem grupy $G\,\!$ podle podgrupy $H\,\!$ je množina

$\{aH:a\in G\}$

kde množiny $aH=\{a\cdot h:h\in H\}$ se nazývají levé třídy rozkladu.

• Pravým rozkladem grupy $G\,\!$ podle podgrupy $H\,\!$ je množina

$\{Ha:a\in G\}$

kde množiny $Ha=\{h\cdot a:h\in H\}$ pravé třídy rozkladu.

Normální podgrupa

Podgrupa $H\,\!$ grupy $G\,\!$ je normální, značíme $H\triangleleft G\,\!$, pokud pro všechny $a\in G\,\!$ platí $aH=Ha\,\!$.

Příklad

• Každá podgrupa abelovské grupy je normální.

Faktorgrupa

Jestliže $H\,\!$ je normální podgrupa grupy $G\,\!$ (symbolicky: $H\triangleleft G$), můžeme na množině levých rozkladových tříd zavést grupovou operaci

$aH\cdot bH=(a\cdot b)H$.

Pak množina levých rozkladových tříd s touto operací tvoří opět grupu, která se nazývá faktorová grupa $G\,\!$ podle normální podgrupy $H\,\!$ a značí se $G/H\,\!$.

Příklady

• Je-li $G\,\!$ libovolná grupa s násobením, pak $G\,\!$ a $\{1\}\,\!$ jsou její normální podgrupy. Pro příslušné faktorové grupy platí $G/G\cong {1}$ a $G/{1}\cong G$.
• Množina $n\mathbb {Z} \,\!$ všech násobků čísla $n\,\!$ je normální podgrupou aditivní grupy $\mathbb {Z} \,\!$, faktorová grupa $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \,\!$ je isomorfní s grupou $\mathbb {Z} _{n}\,\!$.

Hlavní věty o faktorových grupách

Nechť $f:G\to H$ je homomorfizmus grup. Pak jádro Ker(f) je normální podgrupa G a $x\mapsto xKer(f)$ definuje izomorfizmus grup

$Im(f)\simeq G/Ker(f).$

Nechť $N\triangleleft G$. Pak ke každému homomorfismu $\varphi :G\rightarrow L$ grup, pro který $N\subseteq Ker\varphi$, existuje jediný homomorfismus $\varphi ':G/N\rightarrow L$ takový, že $\varphi =\varphi '\circ p$ (kde $p\,\!$ je projekce $G\,\!$ na $G/N\,\!$).

Nechť N a H jsou normální podgrupy G a N je podgrupa H. Pak N je normální podgrupa H, H/N je normální podgrupa G/N a platí

$G/H\simeq (G/N)/(H/N).$

Související články

• Faktoralgebra
• Faktorokruh
• Normální podgrupa

Literatura

STANOVSKÝ, David. Základy algebry. Praha: Matfyzpress, 2010. 153 s. ISBN 978-80-7378-105-7. Kapitola Grupy. 

Portály: Matematika