Eulerova konstanta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Možná hledáte: Eulerovo číslo.

Eulerova konstanta nebo též Eulerova–Mascheroniho konstanta je matematická konstanta používaná v teorii čísel a v analýze. O této konstantě není známo, zda je racionální či iracionální.[1]

Eulerova konstanta je přibližně rovna: 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 … .[2]

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nejsnadneji lze tuto konstantu definovat jako následující limitu:

\gamma = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots + \frac{1}{n}-\ln n \right)

Je obecně známo, že harmonická řada vyskytující se v limitě je řadou divergentní, má tedy nekonečný součet. To že výše uvedená limita je vlastní označuje skutečnost, že pro velká n můžeme součet harmonické řady aproximovat přirozeným logaritmem, jenž je v nekonečnu taktéž nekonečný.

Geometrická představa[editovat | editovat zdroj]

Obsah modré plochy se rovná Eulerově konstantě

Hodnotu konstanty \gamma si můžeme představit i geometricky. Zobrazíme-li grafy funkci

f(x)=\frac{1}{\lfloor x \rfloor},

g(x)=\frac{1}{x},

kde \lfloor x \rfloor značí (dolní) celou část čísla x, pak obsah plochy mezi těmito dvěma grafy pro x od 1 do nekonečna je právě roven Eulerově konstantě \gamma:

\gamma= \int_1^\infty \left( \frac{1}{\lfloor x \rfloor} - \frac{1}{x}\right) dx.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Eulerova konstanta v encyklopedii MathWorld (anglicky)
  2. Eulerova konstanta na OEIS

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]