Eisensteinovo kritérium

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Eisensteinovo kritérium nerozložitelnosti je v matematice, zejména v jejím podoboru algebře, postačující, ale nikoliv nutnou podmínkou pro nerozložitelnost polynomu s celočíselnými koeficienty v racionálních číslech.

Kritérium je pojmenováno po německém matematikovi Gottholdu Eisensteinovi, který jej zveřenil v časopise Journal für die reine und angewandte Mathematik v roce 1850. Někdy se také nazývá Schönemannovo kritérium nebo Eisensteinovo-Schönemannovo kritérium, protože německý matematik Theodor Schönemann zveřejnil ve stejném časopise jinou formulaci tohoto kritéria už v roce 1846.

Moderní formulace kritéria[editovat | editovat zdroj]

Celočíselné polynomy[editovat | editovat zdroj]

Nechť je mnohočlen stupně s koeficienty z oboru celých čísel, tedy , a nechť existuje prvočíslo takové, že dělí všechny koeficienty kromě vedoucího, ten nedělí a jeho čtverec také nedělí konstantní koeficient, tedy:

  • pro všechna ,
  • a
  • ,

pak je mnohočlen ireducibilní v oboru , tedy v oboru polynomů s racionálnimi koeficienty.[1]

Jiná možná formulace podmínky ohledně dělitelnosti vedoucího koeficientu uvažuje pouze normovaný polynom, tedy s vedoucím koeficientem rovným jedné.[2]

Zobecnění pro polynomy s racionálními koeficienty[editovat | editovat zdroj]

Lze vyslovit i podobu pro mnohočleny, jejichž koeficienty jsou tvořeny zlomky: Nechť je , kde zlomky jsou v základním tvaru, tedy největší společný dělitel je roven jedné. Nechť je dále prvočíslo takové, že

  • dělí pro ,
  • nedělí a a
  • nedělí .

Pak je nad tělesem racionálních čísel ireducibilní.[3]

Zobecnění pro gaussovské obory[editovat | editovat zdroj]

Nechť je Gaussův obor integrity a mnohočlen z jeho polynomiálního okruhu . Pak pokud je primitivní a existuje ireducibilní prvek splňující

  • pro všechna ,
  • a

pak je polynom v ireducibilní.[4]

Zobecnění pro obory integrity pomocí ideálů[editovat | editovat zdroj]

Nechť je obor integrity a mnohočlen z jeho polynomiálního okruhu . Pokud existuje v oboru prvoideál takový, že

  • pro všechna ,
  • a
  • ( je součin ideálu s ním samým),

pak nelze zapsat jako součin dvou nekonstantních polynomů v . Je-li navíc primitivním polynomem, tedy nemá-li konstatní dělitele, pak je ireducibilní v . Pokud je Gaussův obor integrity a jeho podílovým tělesem je , pak je v něm ireducibilní bez ohledu na svoji primitivitu (konstanty z jsou v jednotkami).

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. VLADIMÍR, Kořínek. Základy algebry. Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1953. 
  2. MAC LANE, Saunders; BIRKHOFF, Garrett. Algebra. Překlad Anton Legéň, Jaroslav Smítal. Bratislava: Alfa, 1974. (slovensky) 
  3. HANČL, Jaroslav; NOVOTNÝ, Lukáš; ŠUSTEK, Jan. 21. ročník Mezinárodní matematické soutěže Vojtěcha Jarníka. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie. 2011, roč. 56, čís. 3. Dostupné online. 
  4. STANOVSKÝ, David. Základy algebry. Praha: Matfyzpress, 2010. ISBN 978-80-7378-105-7.