Dioklova kisoida

Dioklova kisoida s naznačením konstrukčního postupu

Dioklova kisoida (zastarale cissoida, cisoida) je druh rovinné kubické křivky s jedním hrotem. Někdy se jí říká krátce kisoida, jindy se kisoidou myslí obecnější druh křivek, jejichž je Dioklova kisoida speciálním případem.

Konstrukce

Kružnicí a přímkou

Animace konstrukčního postupu

Na dané kružnici $K$ se vyznačí dva protilehlé body, $O$ a $A$, a bodem $A$ se vede tečna $t$ ke kružnici $K$. Pro každou z přímek ze svazku přímek se středem $O$ (tedy pro všechny sečny procházející $O$) se určí vždy jejich druhý průsečík $M_{1}$ s kružnicí a průsečík $M_{2}$ s tečnou $t$. Kisoidě pak přísluší ten bod $M$ na úsečce $OM_{2}$, pro který je $|OM|=|M_{1}M_{2}|$.

Tato konstrukce odpovídá konstrukci obecné kisoidy, kde je jako jedna z vytvořujících křivek použita kružnice $K$ a jako druhá přímka $t$. V bodě $O$ se pak nachází hrot a přímka $t$ je asymptotou zkonstruované Dioklovy kisoidy.

Newtonova pravým úhlem

Newtonova konstrukce pravým úhlem

Na začátku je dána pevná přímka $J$ a bod $B$. Dioklově kisoidě pak náleží takové body $P$, které leží ve středu úseček $ST$ takových, že úhel $BST$ je pravý a $T$ náleží $J$.

Parabolami

Vznik Dioklovy kisoidy kotálením paraboly po parabole

Jsou-li dvě paraboly o společném vrcholu a protisměrných osách, pak při kotálení jedné paraboly po druhé opisuje její vrchol Dioklovu kisoidu.

Dějiny

Dioklovu kisoidu poprvé zkoumal starořecký matematik Dioklés v 2. století před naším letopočtem (patřičnou část jeho nedochované práce O zápalných zrcadlech cituje Eutokios ve svém komentáři Archimédova pojednání O kouli a válci), proto se nazývá Dioklova. Slovo kisoida je rovněž starořeckého původu a vychází ze slova κισσός znamenajícího břečťan. Dříve používaná varianta cisoida vychází z latinské varianty zápisu.

V 17. století byla jednou z křivek, na kterých zkoušeli průkopníci infinitesimálního počtu své postupy na výpočet obsahu a konstrukci tečny.

Významně se Dioklově kisoidě a i kisoidám obecným (které nazýval cissoidály) věnoval ve své kariéře český matematik Karel Zahradník.

Vyjádření Dioklovy kisoidy

• implicitně v kartézské soustavě souřadnic: $y^{2}(2a-x)-x^{3}=0$
• parametrické vyjádření: $x={\frac {at^{2}}{1+t^{2}}},y={\frac {at^{3}}{1+t^{2}}}$

Odkazy

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Dioklova kisoida na Wikimedia Commons
• Encyklopedické heslo Cissoida v Ottově slovníku naučném ve Wikizdrojích