Darbouxův vzorec

Darbouxův vzorec je v matematické analýze vzorec, který objevil Jean Gaston Darboux pro sumaci nekonečné řady pomocí integrálů nebo vyhodnocování integrálů pomocí nekonečné řady. Je zobecněním Eulerova–Maclaurinova sumačního vzorce na komplexní rovinu. Ten se používá pro podobné účely a odvozuje se podobným způsobem (opakovanou integrací per partes určité volby integrálu). Darbouxův vzorec lze použít pro odvození Taylorovy řady v infinitezimálním počtu.

Tvrzení

Pokud φ(t) je polynom stupně n, a f analytická funkce, pak

${\begin{aligned}&\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}(z-a)^{m}\left[\varphi ^{(n-m)}(1)f^{(m)}(z)-\varphi ^{(n-m)}(0)f^{(m)}(a)\right]\\={}&(-1)^{n}(z-a)^{n+1}\int _{0}^{1}\varphi (t)f^{(n+1)}\left[a+t(z-a)\right]\,dt.\end{aligned}}$

Vzorec lze dokázat opakovanou integrací per partes.

Speciální případy

Pokud se jako φ v Darbouxově vzorci použije Bernoulliho polynom, vznikne Eulerův–Maclaurinův sumační vzorec. Jestliže se jako φ použije (t − 1)^n, vyjde vzorec pro Taylorovu řadu.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Darboux's formula na anglické Wikipedii.

Literatura

• DARBOUX, 1876. Sur les développements en série des fonctions d'une seule variable. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Roč. 3, čís. II, s. 291–312. Dostupné online. 
• WHITTAKER, E. T.; WATSON, G., 1990. A Course in Modern Analysis. 4. vyd. Cambridge, England: Cambridge University Press. Dostupné online. Kapitola §7.1, A Formula Due to Darboux. 

Externí odkazy

• Darbouxův vzorec v MathWorld