Dělení polynomu polynomem

Dělení polynomu polynomem se zbytkem je algoritmus dělení polynomu $f(x)$ polynomem $g(x)$, kde stupeň $g(x)$ je menší než stupeň $f(x)$. Algoritmus je podobný algoritmu dělení se zbytkem.

Mějme dva polynomy $f(x)$ a $g(x)$, kde $g(x)$ je nenulový. Pak existují polynomy $r(x)$ a $z(x)$ takové, že

$f(x)=r(x)g(x)+z(x)$ a $st(z)<st(g)$.

Tyto polynomy jsou určeny jednoznačně. Polynomu $r(x)$ se říká částečný podíl, polynom $z(x)$ je zbytek při dělení polynomu $f(x)$ polynomem $g(x)$.

Stupeň polynomu

Stupeň nulového polynomu je roven -1, stupeň nenulového polynomu je roven největšímu $n$ takovému, že $a_{n}$ je nenulové. Stupeň polynomu $f(x)$ značíme $st(f)$.

Algoritmus dělení polynomů

Algoritmus pro výpočet podílu a zbytku pracuje podobně jako algoritmus pro dělení čísel zapsaných v nějaké soustavě: postupně se dělí nejvyšší člen dělence, vypočítává se prozatímní zbytek a postup se pro něj opakuje, dokud se buď nezastavíme u nejmenšího členu, kde dělení dává smysl, nebo nenajdeme výsledek s nulovým zbytkem.

Ukažme si například, že

${\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}=x^{2}-9x-27-{\frac {123}{x-3}}.$

Částečný podíl a zbytek po dělení lze nalézt v průběhu provádění následujících kroků:

1. Vydělíme první člen prvního polynomu prvním členem druhého polynomu, umístíme výsledek pod čarou $\left(x^{3}/x=x^{2}\right)$.

${\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+0x-42{\underline {\vert x-3}}\\\qquad \qquad \qquad \quad \;\vert x^{2}\\\end{matrix}}$

2. Vynásobíme dočasný výsledek s dělitelem. Zapíšeme výsledek pod první polynom $\left(x^{2}\cdot \left(x-3\right)=x^{3}-3x^{2}\right)$.

${\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+0x-42{\underline {\vert x-3}}\\x^{3}\;\;-3x^{2}\qquad \qquad \;\;\vert x^{2}\quad \;\\\end{matrix}}$

3. Odečteme získaný výsledek z kroku 2 od celého prvního polynomu, zapíšeme výsledek pod čarou $\left(x^{3}-12x^{2}+0x-42-\left(x^{3}-3x^{2}\right)=-9x^{2}+0x-42\right)$.

${\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+0x-42{\underline {\vert x-3}}\\{\underline {x^{3}\;\;-3x^{2}\qquad \qquad \;\;}}\vert x^{2}\quad \;\\-9x^{2}+0x-42\;\;\end{matrix}}$

4. Opakujeme všechny předchozí kroky používajíce jako dělenec výraz pod čarou.

${\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+\;\;0x-42\vert x-3\quad \\{\underline {x^{3}\;\;-3x^{2}\qquad \qquad \;\;\;\;}}{\overline {\vert x^{2}-9x}}\\-9x^{2}\;\;+0x-42\quad \;\;\\{\underline {-9x^{2}+27x\qquad \;}}\quad \;\;\\\quad \;-27x-42\end{matrix}}$

5. Opakujeme krok 4.

${\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+\;\;0x-42\vert x-3\qquad \quad \;\\{\underline {x^{3}\;\;-3x^{2}\qquad \qquad \;\;\;\;}}{\overline {\vert x^{2}-9x-27}}\\-9x^{2}\;\;+0x-42\qquad \quad \;\;\;\\{\underline {-9x^{2}+27x\qquad \;}}\qquad \quad \;\;\;\\-27x-42\quad \\{\underline {-27x+81}}\quad \\\quad \;-123\end{matrix}}$

6. Algoritmus zde končí.

Znamená to, že polynom $r(x)=x^{2}-9x-27$ je částečný podíl a $z(x)=-123$ je zbytek po dělení.

Dělitelnost polynomů

Jestliže zbytek při dělení polynomu $f(x)$ polynomem $g(x)$ je nulový polynom, říkáme, že polynom $g(x)$ dělí polynom $f(x)$, nebo že polynom $f(x)$ je dělitelný polynomem $g(x)$, nebo také, že polynom $g(x)$ je dělitelem polynomu $f(x)$.

Kořen polynomu

Prvek $a$ se nazývá kořen polynomu $f(x)$, jestliže platí $f(a)=0$. Prvek a je kořenem polynomu $f(x)$ právě tehdy, když polynom $(x-a)$ dělí polynom $f(x)$.

Praktické použití

Algoritmus se používá například při integrování racionálních lomených funkcí, když se počítá rozklad na parciální zlomky.

Reference

Portály: Matematika