Dělení polynomu polynomem

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Dělení polynomu polynomem se zbytkem je algoritmus dělení polynomu polynomem , kde stupeň je menší než stupeň . Algoritmus je součástí algoritmu dělení se zbytkem.

Mějme dva polynomy a , kde je nenulový. Pak existují polynomy a takové, že

a .

Tyto polynomy jsou určeny jednoznačně. Polynomu se říká částečný podíl, polynom je zbytek při dělení polynomu polynomem [1].

Stupeň polynomu[editovat | editovat zdroj]

Stupeň nulového polynomu je roven -1, stupeň nenulového polynomu je roven největšímu takovému, že je nenulové. Stupeň polynomu značíme [1].

Algoritmus dělení polynomů[editovat | editovat zdroj]

Algoritmus pro výpočet podílu a zbytku pracuje podobně jako algoritmus pro dělení čísel zapsaných v nějaké soustavě: postupně se dělí nejvyšší člen dělence, vypočítává se prozatímní zbytek a postup se pro něj opakuje, dokud se buď nezastavíme u nejmenšího členu, kde dělení dává smysl, nebo nenajdeme výsledek s nulovým zbytkem.

Ukažme si například, že

Částečný podíl a zbytek po dělení lze nalézt v průběhu provádění následujících kroků:

1. Vydělíme první člen prvního polynomu prvním členem druhého polynomu, umístíme výsledek pod čarou .

2. Vynásobíme dočasný výsledek s dělitelem. Zapíšeme výsledek pod první polynom .

3. Odečteme získaný výsledek z kroku 2 od celého prvního polynomu, zapíšeme výsledek pod čarou .

4. Opakujeme všechny předchozí kroky používajíce jako dělitel výraz pod čarou.

5. Opakujeme krok 4.

6. Algoritmus zde končí.

Znamená to, že polynom je častečný podíl a je zbytek po dělení[2].

Dělitelnost polynomů[editovat | editovat zdroj]

Jestliže zbytek při dělení polynomu polynomem je nulový polynom, říkáme, že polynom dělí polynom , nebo že polynom je dělitelný polynomem , nebo také, že polynom je dělitelem polynomu [1].

Kořen polynomu[editovat | editovat zdroj]

Prvek se nazývá kořen polynomu , jestliže platí . Prvek a je kořenem polynomu právě tehdy, když polynom dělí polynom [1].

Praktické použití[editovat | editovat zdroj]

Určení zbytku po dělení má použití ve sféře algebry a programování. Zbytek po dělení je součástí operace modulo. Obvykle tuto operaci lze aplikovat v oblasti výpočetní techniky a síťových zařízení pro vytvoření kontrolních číslic a získávání náhodných čísel. Náhodná čísla mají největší využití v oborech jako šifrování, počítačová simulace a modelování.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. a b c d DEMLOVÁ, Marie. Algebra pro VT. math.feld.cvut.cz. S. 16. Dostupné online [cit. 2019-01-07]. 
  2. Dělení mnohočlenů mnohočlenem