Dělení polynomu polynomem se zbytkem je algoritmus dělení polynomupolynomem, kde stupeň je menší než stupeň . Algoritmus je součástí algoritmu dělení se zbytkem.
Mějme dva polynomy a , kde je nenulový. Pak existují polynomy a takové, že
a .
Tyto polynomy jsou určeny jednoznačně. Polynomu se říká částečný podíl, polynom je zbytek při dělení polynomu polynomem [1].
Algoritmus pro výpočet podílu a zbytku pracuje podobně jako algoritmus pro dělení čísel zapsaných v nějaké soustavě: postupně se dělí nejvyšší člen dělence, vypočítává se prozatímní zbytek a postup se pro něj opakuje, dokud se buď nezastavíme u nejmenšího členu, kde dělení dává smysl, nebo nenajdeme výsledek s nulovým zbytkem.
Ukažme si například, že
Částečný podíl a zbytek po dělení lze nalézt v průběhu provádění následujících kroků:
1. Vydělíme první člen prvního polynomu prvním členem druhého polynomu, umístíme výsledek pod čarou .
2. Vynásobíme dočasný výsledek s dělitelem. Zapíšeme výsledek pod první polynom .
3. Odečteme získaný výsledek z kroku 2 od celého prvního polynomu, zapíšeme výsledek pod čarou .
4. Opakujeme všechny předchozí kroky používajíce jako dělenec výraz pod čarou.
Jestliže zbytek při dělení polynomu polynomem je nulový polynom, říkáme, že polynom dělí polynom , nebo že polynom je dělitelný polynomem , nebo také, že polynom je dělitelem polynomu [1].