Dějiny matematiky

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Žena vyučující geometrii, středověká ilustrace Euklidových Základů

Historie matematiky sahá od prvních pokusů pravěkého člověka spočítat úlovek, přes velký vzestup matematiky ve Starém Řecku až k moderní matematice rozrůzněné ve velký počet oborů, kterými se zabývá ohromný počet matematiků.

Je třeba si uvědomit, že až do moderní doby probíhal vývoj v geografických oddělených částech světa různě a dnes univerzálně známé poučky jako je např. Pythagorova věta byly objevovány znovu v Řecku, v Číně… Zároveň je nutné nepřehlížet vývoj neevropské matematiky, poněvadž zvláště ta arabská, čínská a indická během středověku evropskou co do šíře znalostí značně předstihla.

Až nástup novověku společně s objevem diferenciálního a integrálního počtu odstartovaly dnešní mohutný rozkvět evropské matematiky. Úspěchy dosažené na poli matematickém často předcházely či podmiňovaly jiné, praktičtější nebo výraznější úspěchy člověka v oblasti technologií, ať už jde o cestu člověka na Měsíc nebo moderní počítač a internet.

Pravěk[editovat | editovat zdroj]

První matematické pojmy byly nezbytným prostředkem ulehčujícím pochopení některých sdělovaných faktů, vyjadřovaly počty různých objektů a jejich porovnávání, různé tvary a o něco později umožňovaly měřit množství lidské práce a její výnosy. Dlouhou dobu se počítání předmětů omezovalo na množství dvou až tří, později čtyř až pěti kusů.[1] Další číslovky znamenající nejdřív neurčitě mnoho, vznikaly pomalu. Při počítání se využívalo vzájemně jednoznačného přiřazování dvou množství. První směnný obchod probíhal výměnou ekvivalentů vzájemně jednoznačným přiřazením (např. jeden kmen nabídl ke směně tři kůže za dva kusy pazourku).

Starověk[editovat | editovat zdroj]

Počáteční období, v němž se vytvářely kvantitativní a geometrické vztahy a operace s nimi, trvalo velmi dlouho. Až do 6. století př. n. l. šlo převážně o hromadění aritmetických pojmů, geometrických faktů a základních operací. Matematické znalosti se zaznamenávaly pouze různými systémy číslic a běžným jazykem, což brzdilo rychlejší rozvoj. Do 3. století př. n. l. chybí matematice jakákoliv speciální symbolika.

Mezopotámie[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Mezopotámská matematika.

Z Mezopotámie pocházejí první písemné památky v dějinách lidstva a z období 2200 až 1800 př. n. l. se dochovalo velké množství matematických tabulek, které ukazují pokročilý stupeň rozvoje mezopotámské algebry i geometrie a také to, že matematika má opravdu dlouhou historii. V té době byly objeveny důležité algoritmy pro řešení rozmanitých úloh. Matematika byla schopna odpovědět na všechny požadavky tehdejší civilizace. Pro její další rozvoj patrně chyběly silnější podněty. Z období následujíhího se takřka nezachovaly žádné matematické tabulky, a tudíž nelze posuzovat pozdější rozvoj matematiky. Nicméně v této době byly k násobení používány důmyslné komplety tabulek a např. dělení bylo převáděno na násobení převrácenou hodnotou. Ke stanovení převrácené hodnoty sloužily opět tabulky. Při řešení úloh pracovala tehdejší civilizace pouze s přirozenými čísly a s kladnými šedesátinnými zlomky. Čísla iracionální a záporná tehdy ještě požívána nebyla. Řešení byla opět hledána pouze v oboru přirozených čísel a kladných šedesátinných zlomků.

V algebře počtáři řešili úlohy, které dnes vedou na rovnice lineární, kvadratické, kubické a bikvadratické i jejich soustavy. Objevily se dokonce úlohy vedoucí na rovnice osmého stupně, které nemají žádnou rozumnou aplikaci v tehdejší technické praxi. Byly patrně určeny na procvičování početních dovedností. Neznámé veličiny byly označovány jako délka a šířka, jejich součiny jako plocha. Někdy však byly termíny převzaty i z oblasti aritmetických operací (dělenec a dělitel, násobenec a násobitel atd.).

Samostatnou kapitolou jsou astronomické tabulky chaldejských počtářů, které svědčí o jejich nevšedních početních znalostech a dovednostech. Světu do dneška zanechali šedesátkovou soustavu (čas, úhly), rozdělení kruhu na 360 stupňů, dne na 24 hodin, hodiny na 60 minut a minuty na 60 sekund.

Egypt[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Matematika starověkého Egypta.

Matematika starověkého Egypta se rozvíjela společně s rozvojem Egyptské civilizace od 4. tisíciletí př. n. l. Sloužila pouze k praktickým účelům, jako abstraktní věda nebyla ještě vyvinuta. Egypťané dokázali sčítat, odčítat, násobit, dělit, počítat se zlomky i řešit některé složitější aritmetické a geometrické problémy. Objevují se úvahy o výpočtech obsahu rovinných obrazců (obdélníku, trojúhelníku a kruhu).

Indie[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Dějiny indické matematiky.

Indická matematika byla ve své době až obdivuhodně rozvinutá. A způsobila velký zlom ve vývoji matematiky. Světu přinesla především poziční systém. Existovaly symboly pro prvních devět číslic. Desítkový charakter byl velmi rozvinutý. To vše představuje příznivé podmínky pro vytvoření poziční soustavy se základem 10. Obrovským objevem indických matematiků se stala nula: 0.

Kromě toho skvěle ovládli počítání se zlomky. Jejich forma se téměř shodovala se současnou: čitatele psali nad jmenovatelem, ale nepoužívali zlomkovou čáru. Při operacích s celými čísly a se zlomky vyjadřovali celé čísla jako zlomky se jmenovatelem 1. Umocňování dvěma a třemi, znali a používali trojčlenku a mnoho dalšího.

Řecko[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Matematika starověkého Řecka.

Kolébkou evropské kultury a vzdělanosti bylo starověké Řecko. V nových společenských podmínkách řecké otrokářské demokracie se začalo rozvíjet logické uvažování, což umožnilo vznik axiomaticko-deduktivní výstavby matematických teorií s logickým způsobem dokazování platnosti jednotlivých vět. Nejproslulejší knihou napsanou na tomto základě, se staly Euklidovy Základy, v originále Stoicheia' ze 3. století př. n. l.. Vzniká matematický důkaz, v Řecku v souvislosti s geometrií. Na vznik matematických pojmů a operací s nimi působily praktické podněty (obchod, peněžnictví, zeměměřičství, mořeplavby, astronomie…), zatímco k vytvoření matematické teorie, k systému výkladu matematiky, vedla snaha po uspořádání matematických poznatků, potřeba prokázání jejich platnosti a vyvoditelnosti z již dokázaných faktů.

Pythagoras ze Samu[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Pythagoras ze Samu.

Velmi zajímavou postavou se stal Pythagoras, který tvrdil, že vše lze převézt na číselný princip a číslům přiřazoval různé vlastnosti. Za základ všeho považoval číslo, bod (bod jako prvek nejmenší vymezenosti - jeden bod je bod, dva body jsou úsečka, tři body tvoří trojúhelník, čtyři body prostorové těleso a součet těchto čísel dává číslo deset, které považoval za magickou konstrukci vesmíru a na tomto základě pak hledal on i jeho následovníci vztahy mezi věcmi). Pythagoras se narodil v Malé Asii na ostrově Samos. Po vpádu Peršanů se usadil na jihu Itálie a tam založil školu, která byla přístupná mužům i ženám a diskriminační chování bylo zakázáno. Na škole měl neomezenou autoritu. Velkou pozornost věnoval geometrii - Pythagorova věta: „Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého rovinného trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami“. Není ale jasné, jestli je jejím autorem Pythagoras sám, nebo jeho žáci. Přívrženci jeho filozofie se nazývají pythagorejci, šlo o řecké filozofy, obývající řecké osady na jihu Itálie a příslušníky Pythagorovy školy.

Eukleidés

Eukleidés[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Eukleidés.

O Eukleidově životě víme velmi málo. Narodil se v Řecku, studoval snad v Athénách na Platónově Akademii, kde se geometrii naučil od Eudoxa a Theaitéta. Král Ptolemaios I. (323 – 283 př. n. l.) ho povolal do nově založené Alexandrijské knihovny (či Musea), kde pracoval a snad také učil. Mezi jeho žáky snad patřil také Archimédés.

Eukleidovým nejvýznamnějším dílem jsou třináctidílné „Základy“ („Stoicheia“) založené na systému ústředních axiomů geometrie. Ty další dva tisíce let určovaly evropské geometrické myšlení. Podává v nich také důkaz Pythagorovy věty a důkaz nekonečného množství prvočísel.

Archimédés[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Archimédés.

Archimédés pocházel ze Syrákús a je jedním z nejvýznamnějších učenců antiky. Objevil mnoho zákonů matematiky a fyziky. V geometrii zavedl původně negeometrické pojmy jako těžiště, těžnice. Věnoval se metodám výpočtu ploch (především kruhu, elipsy a parabolické úseče) a objemů těles (zejména válce, kužele, koule, elipsoidu, paraboloidu). Stanovil objem rotačního paraboloidu, elipsoidu a hyperboloidu prakticky způsobem, který se dnes používá v integrálním počtu. Kolem roku 225 př. n. l. Archimédes zjistil, že obsah části paraboly odpovídá 4/3 obsahu trojúhelníku se stejnou základnou a výškou. Archimédes sestrojil nekonečnou posloupnost trojúhelníků počínaje trojúhelníkem o obsahu A a dalšími menšími trojúhelníky vyplňujícími postupně oblast, která byla vymezena parabolou. Dostal nekonečnou posloupnost obsahů:

A, A + \frac{A}{4}, A + \frac{A}{4} + \frac{A}{16}, A + \frac{A}{4} + \frac{A}{16} + \frac{A}{64},…

Obsah části paraboly je proto roven

A\left[1 + \frac{1}{4} + \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^3 + ...\right] = \left(\frac{4}{3}\right)A

Tento výsledek je prvním známým příkladem součtu nekonečné řady.

Své matematické výzkumy shrnul ve spise „De mechanicis propositionubis ad Eratosthenes methodus“ (O metodě mechanicky odvoditelných vět), objeveném až ve 20. století, v roce 1906. Jako matematik Archimédés odvodil obvod a obsah kruhu (určením přibližné hodnoty Ludolfova čísla). Jeho nejlepším odhadem bylo 3,1418 (chyba asi 0,0002). Je třeba si uvědomit, že Archimédes nemohl využít výhod algebraického a trigonometrického zápisu a desítkové soustavy čísel. Proto musel být výpočet velmi obtížný.[2] Z vlastních matematických objevů si nicméně sám Archimédés cenil nejvíce objevu poměru mezi povrchem a objemem koule a jí opsaného válce (jde o poměr 2:3) – tento objev je pak v grafické podobě ztvárněn na Archimédově náhrobním kameni.

Středověk[editovat | editovat zdroj]

Čína[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Dějiny čínské matematiky.

Čína byla až do 14. století v oblasti matematiky nejrozvinutější zemí světa. Např. Pythagorova věta byla zapsána v čínské matematické knize z 2. století př. n. l. V další důležité čínské matematické knize z 1. století jako první na světě byl objasněn pojem o záporném čísle a principy přičítání, odčítání, čínský matematik Zu Chongzhi určil v 5. století s velkou přesností hodnotu Ludolfova čísla. Dostal se k číslu 3,141 592 6 (π = 3,141 592 7). Jakou metodu přesně použil není známo.

Al-džabr wa-l-maqábala

Islámský svět[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Dějiny islámské matematiky.

Arabská matematika byla nejvíce ovlivněna matematikou mezopotámskou, řeckou a indickou. Z indické matematiky převzala zápis čísel a algoritmy pro písemné počítání, z řecké matematiky abstraktní geometrii a myšlenku axiomatické výstavby matematiky, z mezopotámského a egyptského světa převzala tradici numericky náročných výpočtů a především důraz na užití matematiky v praktickém životě. Desítkový poziční systém pronikal pomalu na Blízký východ a byl používán vedle domácích systémů. Islámský svět se začal seznamovat s tzv. indickým systémem prostřednictvím al-Fázárího překladu díla Sinhásitas do arabštiny. Začali se používat číslice z Indie. Protože do Evropy se dostaly prostřednictvím Arabů, jsou dnes známé jako arabské číslice.

Arabské číslice

V historii i v současnosti matematiky a informatiky hrály a hrají důležitou roli předpisy k řešení úloh, např. předpisy pro čtyři základní aritmetické operace s přirozenými čísly zapsanými v desítkové soustavě. Předpisy tohoto charakteru se zabýval počátkem 9. století perský matematik Abdalláh Muhammad ibn Músa, al-Chwárizmí (nebo al-Chorezmí) al-Madžúsí, latinské zkomolení části jeho jména uvedlo do evropských jazyků slovo algoritmus. Al-Chwárizmí dovedl například geometricky řešit kvadratické rovnice a vymyslel také jednoduchý algoritmus pro násobení dvojciferného čísla, číslem jednociferným. V letech 800 a 825 napsal dvě díla, z nichž jedno byla početnice, které v latinském překladu začíná slovy „Algoritmi dicit“ („Tak praví Al Chwárízmí“). Zdánlivá záměna jmen vznikla patrně zkomolením při překladu z arabštiny do latiny. Druhým dílem byla učebnice algebryAl-džabr wa-l-maqábala“ („Uspořádání“), která obsahovala nauku o řešení rovnic. Podle autora je rovnice uspořádána, pokud jsou všechny její členy kladné. Na takový tvar byly všechny rovnice převáděny, čímž autor definoval povolené operace s rovnicemi. Neznal algebru obecných čísel.

Evropa[editovat | editovat zdroj]

V období středověku matematika, stejně jako ostatní vědy, v Evropě upadá. Někteří myslitelé a církevní matematici přesto dospěli k jistým důležitým výsledkům. Mikuláš Oresme (druhá polovina 14. století) studoval ze záliby mocniny s lomenými exponenty, ale hlavně napsal práci, v níž se zabývá závislostí mezi veličinami. Nanáší závisle proměnnou (latitudo — šířku) vůči nezávisle proměnné (longitudo — délce), kterou lze měřit. Je v tom druh přechodu od souřadnic na nebeské nebo zemské sféře (které znali již ve starověku) k moderním geometrickým souřadnicím. Jeho práce o tom byla několikrát vytištěna v letech 14821515 a pravděpodobně ovlivnila renesanční matematiky včetně Descarta.

Až do začátku 16. století nebyl učiněn žádný podstatný pokrok k překonání úrovně arabské a antické matematiky. První skutečně nové a původní výsledky přináší italští matematikové na počátku 16. století, pracující v oblasti řešení rovnic.

Novověká evropská matematika[editovat | editovat zdroj]

Na počátku 16. století překročila evropská matematika rámec znalostí, které byly vytvořeny v antickém Řecku a národy orientu. Až do přelomu 16. a 17. století měla matematika jako předmět svého zkoumání hlavně kvantitativní veličiny a neměnné geometrické útvary. Scipio Del Ferro a jeho žáci na univerzitě v Bologni vytvořili teorii, která vedla k obecnému řešení kubické rovnice. V 15. století ovládali italští počtáři (praktikové) spolehlivě aritmetické výpočty včetně počítání s iracionálními čísly a italští malíři byli dobrými geometry. Vasari v knize Život malířů zdůrazňuje zvláštní zájem mnoha renesančních umělců o prostorovou geometrii.

Využití perspektivy v renesančním malířství

Změna společenských podmínek přináší i nové problémy, které má matematika řešit. Hodně podnětů dostává z fyzikální oblasti. Matematika pociťuje nutnost nacházet prostředky pro rychlejší zpracování získaných údajů. Pro výpočty se užívala různá počítadla, začátkem 17. století se staly důležitou pomůckou tabulky logaritmů (Napier, Bürgi, Briggs). Do popředí zájmu matematiků se dostává pohyb. Začínají se studovat proměnné veličiny a geometrická transformace. Galileo Galilei přichází s objevem, že balistická křivka je parabola, René Descartes roku 1637 ukazuje metodu, kterou lze za určitých podmínek popsat analyticky dráhu, po níž se pohybuje bod. Jeho analytická geometrie se stává předpokladem pro to, aby matematika odpověděla na otázku jak se pohybuje bod po své dráze (rovnoměrně nebo nerovnoměrně) a k řešení těchto problémů mechaniky přinášejí nezávisle na sobě ve druhé polovině 17. století nové matematické prostředky Leibniz a Newton infinitezimálním počtem. Později je aplikován i v geometrii (Gaspard Monge).

Nástup měšťanstva a společenský vývoj v italských, francouzských, nizozemských i anglických městech s nástupem renesance přispěl ke snahám přiblížit matematické znalosti širším vrstvám společnosti a to v národních jazycích. V této době se objevují první české početnice, z nichž první jsou vydány roku 1530.

Kubické a bikvadratické rovnice[editovat | editovat zdroj]

Italský matematik Luca Pacioli zjistil, že rovnici x^4 = a + bx^2 lze řešit kvadratickou metodou, ale rovnice x^4 + ax^2 = b nebo x^4 + a = bx^2 nebyl schopen vyřešit. Scipione del Ferro zastával, stejně jako Pacioli místo na katedře aritmetiky a geometrie Univerzity v Boloni. Dal Ferro se zabýval algebraickým řešením kubických rovnic, byl však schopen řešit pouze rovnici tvaru x^3 + mx = n.

Až po jeho smrti objevil Nicolo z Brescii, známý pod jménem Tartaglia, obecnou metodu pro řešení všech kubických rovnic. Gerolamo Cardano v Miláně připravoval k vydání svoji práci „Practica Arithmeticae“. Pozval Tartagliu, aby mu prozradil tajemství řešení kubické rovnice. Tartaglia požadoval, aby Cardan zachoval tajemství do doby, než on sám bude řešení publikovat.

Cardan ale slib porušil. V roce 1545 publikoval práci „Ars Magna“, první latinské pojednání o algebře. Ta inspirovala řadu matematiků, aby se zabývali řešením kubických a bikvadratických rovnic. Své metody řešení odvodili Viéte, Harriot, Euler a Descartes.

Integrální počet

Vznik matematické analýzy[editovat | editovat zdroj]

K dalšímu vývoji matematické analýzy (infinitezimální počet) od Archimédových začátků došlo až v 16. století, kdy mechanika přivedla matematiky k řešení problémů, jako bylo ohnisko gravitace. Johannes Kepler ve své práci o pohybu planet vypočetl obsah částí elipsy. Svoji metodu založil na představě plochy jako součtu úseček, která v podstatě byla metodou integrace. Fermat také studoval maxima a minima. Zjistil, že funkce dosahuje svého maxima nebo minima, když je tečna křivky této funkce rovnoběžná s osou x. Svoji metodu popsal Descartovi tak, jak ji chápeme dnes: lokální maximum nebo minimum funkce se nachází v bodech, kde je derivace funkce rovna nule.

Skutečnými otci matematické analýzy jsou však Isaac Newton a Gottfried Wilhelm Leibniz. Newton ji vytvořil jako nástroj, který potřeboval pro své fyzikální výpočty. Nazýval ji flexí a její zápis i způsob práce s ní se o dnešního velmi lišil. Není jisté, kolik toho Leibniz o Newtonově metodě věděl (Newton své výsledky obvykle publikoval s velkým zpožděním), ale pár let po Newtonovi také přišel s tímto objevem, ale už s moderním zápisem (např. pro symbol integrálu), matematičtějším pojetím a pojmem „kalkulus“. Ve své době byl spor mezi těmito dvěma objeviteli značně vyhrocený a na mnoho dalších let představoval jablko sváru mezi „kontinentální“ a „ostrovní“ matematikou. Dnešní dějepisci přiznávají zásluhu oběma vědcům.

Termín „integrální počet“ zavedl v roce 1690 Jacob Bernoulli.

Nové uchopení geometrie[editovat | editovat zdroj]

Novověk učinil v oblasti geometrie dva důležité kroky: odhalil existenci neeuklidovských geometrií a vytvořil analytickou geometrii.

Descart zavedením kartézské soustavy souřadnic objevuje metodu, jak analyticky, tj. prostřednictvím čísel a rovnic, zkoumat geometrické útvary. Díky tomuto objevu se v následujících staletích podaří vyřešit mnoho klasických geometrických problémů, např. otázka trisekce úhlu.

Stálé neúspěchy při logickém vyjadřování teorie rovnoběžek si vyžádaly ověřování základů euklidovské geometrie. Negováním pátého Euklidova postulátu o rovnoběžkách se u Lobačevského a Bolyaie objevila neeuklidovská geometrie jako matematicky zcela správná, ze svých axiomů odvoditelná a v okruhu své platnosti bezesporná teorie.

Teorie pravděpodobnosti a her[editovat | editovat zdroj]

Další vývoj[editovat | editovat zdroj]

Ve vědecké revoluci 17. století narostla matematika do značné šíře a když pak na konci 18. století průmyslová revoluce přinesla velké množství technických problémů, byla matematika společně s fyzikou připravena k jejich řešení. Objevily se však také některé rozpory. Komplikované funkce, objevující se např. při zkoumání vedení tepla v různých materiálech, si vynutily zpřesnění pojmu funkce, limity, derivace apod. První kroky v tomto směru podnikli Cauchy a Bolzano.

Neúspěch snah o přímé řešení obecných algebraických rovnic vyššího než čtvrtého stupně vedl k otázce, zda je takové řešení vůbec možné. Ruffini, Abel a Galois ukázali, že takové řešení neexistuje a postavili algebru (do té doby jen nauku o řešení rovnic) na zcela jiný základ — teorie grup.

V matematice se tak začaly z vnitřních problémů její výstavby tvořit teorie, které byly logicky správné a při tom často neodpovídaly žádné známé situaci z reálného světa. Začala nová etapa vývoje matematiky, kdy se předmětem zkoumání staly abstraktní kvantitativní vztahy a geometrické objekty, které čekaly a mnohé čekají na své praktické uplatnění.

20. století[editovat | editovat zdroj]

Neúplnost[editovat | editovat zdroj]

V dvacátých letech 20. století formuloval slavný německý matematik David Hilbert tzv. Hilbertův program. Ten měl za cíl vystavět matematiku na neotřesitelných logických základech, především na bezrozporné teorii množin. Na přelomu století se totiž nejlepší matematikové zabývali problém, jak se vyhnout paradoxům, které s sebou tehdejší příliš volné množinové definice, dnes už víme že nevyhnutelně, přinášely. Hilbert věřil, že matematiku na takovýchto bezrozporných základech postavit lze. Je autorem slavného výroku: „Musíme vědět. Budeme vědět.“

Hned v roce 1931 však přišel mladý rakušan Kurt Gödel a jedním chytrým důkazem celou snahu položil na kolena. Ukázal, že každý axiomatický systém obsahující aritmetiku je nutně neúplný — tedy že v něm existují pravdivá tvrzení, která však nelze prostředky systému dokázat. Tento výsledek se zařadil po bok podobných deziluzivních objevů tehdejší doby, jako byla Schrödingerova neurčitost a značně zmírnil modernistickou víru v možnosti vědy a techniky.

Ilustrace problému čtyř barev.

Informatika[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Dějiny informatiky.

Do tohoto leptání matematického sebevědomí se krátce poté zapojil britský matematik Alan Turing, když negativně rozřešil tzv. „Entscheidungsproblem“. Při této příležitosti vytvořil model Turingova stroje, čímž položil teoretické základy teorii složitosti a vůbec celé informatiky, nového odvětví matematiky zabývající se zejména algoritmizací.

Počítače se ukázaly být poměrně revoluční změnou v chápání užitečnosti matematiky. Na jednu stranu se jejich konstrukce neobejde bez chytrých matematických aplikací (viz např. šifrovací algoritmus RSA),[3] na druhou stranu umožňují mechanicky procházet mnohem víc možností, než by stihli lidé a tak podlamují praktickou užitečnost matematického důkazu. I ten navíc pod jejich vlivem doznává změn: V roce 1976 byla dokázána věta o čtyřech barvách počítačovou analýzou tisíce případů, na které šlo hlavní problém rozložit a dlouho se vedly spory, je-li takovýto způsob vedení důkazu korektní.

Vedení důkazů[editovat | editovat zdroj]

Ve dvacátém století se vyskytlo několik pozoruhodných případů nestandardního zacházení se základním matematickým nástrojem, důkazem. Vedle již zmíněného důkazu věty o čtyřech barvách, které počítač asistoval, vyskytly se pokusy o plně automatické dokazování vět. Počítač v nich dostane sadu axiomů zadaných symboly výrokové logiky a z nich vyvozuje stále složitější vlastnosti systému.

Kvalita tohoto odvozování a dokazování je zatím samozřejmě nedostatečná. Ostatně intuice živých matematiků může slavit ohromné úspěchy i bez znalosti pojmu „důkaz“: indický matematik Ramanujan ve dvacátých letech odvodil mnoho hlubokých pravd čistě na základě matematického vhledu.

Různorodost matematiky v druhé pol. 20. stol.[editovat | editovat zdroj]

V této době se matematikou zabývá nebývalé množství lidí. Roste počet matematických časopisů, jejich záběr je hlubší i širší. Vznikají nové obory, ty stávající se štěpí.

Fraktály[editovat | editovat zdroj]

Jako příklad matematických novinek z tohoto období můžeme uvést fraktály. Jde o novou oblast zkoumání geometrie, která se zabývá soběpodobnými útvary, tj. útvary, jejichž část vykazuje podobnost s celkem. Ačkoliv jsou definice známých fraktálů jednoduché, jejich tvar i chování vykazuje podivuhodnou složitost.[4]

Grafy[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Dějiny teorie grafů.

Výrazného rozkvětu se dočkala teorie grafů. Na stavbu jejích základů zavdal již Euler, když v roce 1736 vyřešil problém mostů v Královci. Jako samostatná disciplína se však tato odnož kombinatoriky etablovala až v polovině dvacátého století. První kniha věnovaná teorii grafů vychází kupříkladu až v roce 1936.[5]

Aplikačně jde o nesmírně důležitý obor. Pomáhá v návrzích optimálních komunikačních a transportních sítí,[6] zvyšuje rychlost počítačových algoritmů,[7] atd.

Do jejich dějin se výrazně zapsalo i několik českých matematiků: Jarník a Borůvka, kteří ve třicátých letech vyřešili problém konstrukce minimální kostry grafu.[8]

Dva důležité výsledky z nedávné doby[editovat | editovat zdroj]

V souvislosti s touto expanzí roste význam hledání mostů mezi jednotlivými podobory. Naprosto odlišně vypadají matematické struktury mohou mít silné společné vlastnosti, za pomoci kterých mohou jít vyřešit složité otázky v jedné struktuře převedením do druhé, ve které tak složité nebudou.

Pomocí právě popsané metody byla v roce 1994 vyřešena velká Fermatova věta. Angličan Wiles dokázal dostatečně velkou část Tanijamovy-Šimurovy věty,[9] čímž vytvořil nový most mezi algebrou a geometrií a automaticky tak dokázal staletí vzdorující Fermatův problém.[10]

Sto let starou Poincarého domněnku proměnil v roce 2006 ve větu ruský matematik Perelman. Poincarého domněnka je první a zatím jediný vyřešený problém milénia.

Budoucnost[editovat | editovat zdroj]

Na matematiky stále čeká mnoho klasických nevyřešených problémů. S každým novým výsledkem navíc vystupují další otázky. Není třeba se bát o nedostatek práce — budoucí matematika se ale bude muset filosoficky vyrovnat s rychlými počítači a také bude muset vylepšit práci s existujícími znalostmi, kterých bude čím dál tím více.

V roce 2009 zahájil Timothy Gowers projekt Polymath, v rámci kterého se množství dobrovolníků z celého světa podílelo na společném hledání alternativního důkazu hustotní Hales-Jewettovy věty ryze webovými prostředky, tedy prostřednictvím blogů, komentářů a wiki. Po šesti týdnech práce byl důkaz pravděpodobně nalezen.[11]

Poznámky a zdroje[editovat | editovat zdroj]

  1. Myslí se tím počítání vědomé, slovy vyjádřené. Intuitivní pohled na množství má mnoho zvířat, viz články „Početní soustavy v dávné minulosti — i u zvířat“ a „Umí pes počítat a logicky dedukovat?“ na ScienceWorldu.
  2. Matematika v proměnách věků III: Jaromír Šimša: Huygensovo vylepšení Archimédovy metody
  3. Po dlouhá léta byla teorie čísel chápána jako jedna z nejméně užitečných odnoží matematiky a její praktické užití v internetovém šifrování chápou matematici jako důležité vítězství. Každá neprakticky vypadající matematická disciplína si zaslouží pozornost společnosti, říkají, protože nikdy nikdo neví, kdy se daný kus matematiky ukáže být nezbytným pro další vývoj techniky.
  4. Výraznou úlohu při etablování se této vědecké disciplíny sehrál Benoit Mandelbrot. V edici Kolumbus vyšla jeho kniha Fraktály, viz Literatura.
  5. Pavel Šimša: Teorie grafů 1736–1963, s. 5
  6. Ostatně problém minimální kostry byl československými matematiky studován právě kvůli jedné takové síti — elektrickému vedení.
  7. Mnoho rychlých datových struktur je založených na stromech, grafech bez cyklů. Vizte např. AVL stromy.
  8. Pavel Šimša: Teorie grafů 1736–1963, s. 41-45
  9. Zbytek Tanijamovy-Šimurovy domněnky byl dokázán v roce 1998.
  10. O tomto tématu zajímavě pojednává kniha Simonha Singha Velká Fermatova věta, která u nás vyšla dokonce dvakrát.
  11. http://www.nature.com/nature/journal/v461/n7266/full/461879a.html Massively collaborative mathematics, Nature 461, 879-881 (15 October 2009), doi:10.1038/461879a

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]

Česky[editovat | editovat zdroj]

  • MANDELBROT, Benoît. Fraktály. Praha : Mladá Fronta, 2003. ISBN 80-204-1009-0.  
  • SINGH, Simon. Velká Fermatova věta. Praha : Academia, 2002. ISBN 80-200-0394-0.  
  • ŠIŠMA, Pavel. Teorie grafů 1736-1963. Brno : Prometheus, 1997. ISBN 80-7196-065-9.  
  • VOPĚNKA, Petr. Rozpravy s geometrií. Praha : Panorama, 1989.  
  • VOPĚNKA, Petr. Vyprávění o kráse novobarokní matematiky. Praha : Práh, 2004. ISBN 80-7252-103-9.  
  • Matematika v proměnách věků III. Příprava vydání Jindřich Bečvář, Eduard Fuchs. Praha : Výzkumné centrum pro dějiny vědy, 2004. ISBN 80-7285-040-7.  
  • BEČVÁŘ J.: Z historie lineární algebry, Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy, Matfyzpress, Praha, 2007, 519 stran, ISBN 978-80-7378-036-4.
  • BEČVÁŘ J., FUCHS E. (ed.): Historie matematiky I, Sborník, Seminář pro vyučující na středních školách, Jevíčko, srpen 1993, JČMF, Brno 1994, 241 stran.
  • BEČVÁŘ J., FUCHS E. (ed.): Historie matematiky II, Sborník, Seminář pro vyučující na středních školách, Jevíčko, 21. 8. - 24. 8. 1995, Prometheus, Praha 1997, 194 stran, ISBN 80-7196-046-2.
  • BEČVÁŘ J., FUCHS E. (ed.): Matematika v proměnách věků I, Sborník, Prometheus, Praha 1998, 218 stran, ISBN 80-7196-107-8.
  • BEČVÁŘ J., FUCHS E. (ed.): Matematika v proměnách věků II, Prometheus, Praha 2001, 267 stran, ISBN 80-7196-218-X.
  • BEČVÁŘ J., FUCHS E. (ed.): Matematika v proměnách věků III, Výzkumné centrum pro dějiny vědy, Praha 2004, 253 stran, ISBN 80-7285-040-7.
  • FUCHS E. (ed.): Matematika v proměnách věků IV, Akademické nakladatelství CERM, Brno, 2007, 223 stran, ISBN 978-80-7204-536-5.
  • BEČVÁŘOVÁ M., BEČVÁŘ J. (ed.): Matematika v proměnách věků V, Matfyzpress, Praha, 2007, 331 stran, ISBN 978-80-7378-017-3.
  • BEČVÁŘ J., BEČVÁŘOVÁ M. (ed.): Matematika v proměnách věků VI, Matfyzpress, Praha, 2010, 231 stran, ISBN 978-80-7378-146-0.
  • BEČVÁŘ J., FUCHS E. (ed.): Matematika v 16. a 17. století, Sborník, Seminář Historie matematiky III., Jevíčko, 18.8. - 21. 8. 1997, Prometheus, Praha 1999, 321 stran, ISBN 80-7196-150-7.
  • BEČVÁŘ J., FUCHS E. (ed.): Matematika v 19. století, Sborník přednášek z letních škol Historie matematiky, Prometheus, Praha 1996, 144 stran, ISBN 80-7196-019-5.
  • BEČVÁŘOVÁ M.: Eukleidovy Základy, jejich vydání a překlady, Prometheus, Praha 2002, 297 stran, ISBN 80-7196-233-3.
  • BEČVÁŘ J. a kol.: Matematika ve středověké Evropě, Prometheus, Praha 2001, 445 stran, ISBN 80-7196-232-5.
  • BEČVÁŘ J., BEČVÁŘOVÁ M., Bečvář, VYMAZALOVÁ H.: Matematika ve starověku. Egypt a Mezopotámie, Prometheus, Praha 2003, 371 stran, ISBN 80-7196-255-4.
  • HUDEČEK J.: Matematika v devíti kapitolách. Překlad, vysvětlivky a úvod, Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy, Matfyzpress, Praha, 2008, 244 stran, ISBN 978-80-7378-046-3.
  • MAREŠ, Milan. Příběhy matematiky. 2. vyd. Praha : Pistorius & Olšanská, 2011. ISBN 978-80-87053-64-5.  
  • MAČÁK K.: Počátky počtu pravděpodobnosti, Prometheus, Praha 1997, 111 stran, ISBN 80-7196-089-6.
  • SCHWABIK Š., ŠARMANOVÁ P.: Malý průvodce historií integrálu, Prometheus, Praha 1996, 95 stran, ISBN 80-7196-038-1.
  • Řecké matematické texty. Příprava vydání Z. Šír (výběr textů, úvodní studie a poznámky), R. Mašek a A. Šmíd (překlad). Praha : Oikúmené, 2011. ISBN 978-80-7298-308-7.  

Anglicky[editovat | editovat zdroj]