Cyklická grupa

V matematice, konkrétně v teorii grup, se pojmem cyklická grupa označuje grupa, která může být generována operováním s jedním jediným prvkem. Tento prvek se nazývá generátor cyklické grupy.

Cyklická grupa může mít více než jeden generátor. Například grupa všech celých čísel modulo 5 se sčítáním $\mathbb {Z} _{5}(+)$ má čtyři generátory: 1, 2, 3 a 4.

Geometrickým názorným příkladem cyklických grup jsou grupy zákrytových otočení pravidelných mnohoúhelníků (s operací skládání zobrazení). Např. u pětiúhelníku jsou generátorem otočení o 72°, 144°, 216° nebo 288°. Je izomorfní s grupou $\mathbb {Z} _{5}(+)$.

Definice

Grupa G je cyklická právě tehdy, když existuje g∈G takový, že G={g^k|k∈Z}. Takovému jejímu prvku se říká generátor.

Ekvivalentní definice: G je cyklická, když existuje g∈G a jediná podgrupa G obsahující toto g je celé G (nejsou žádné "menší" podgrupy obsahující g).

Základní vlastnosti cyklických grup

Každá cyklická grupa je (homomorfním) obrazem grupy celých čísel, takže je nejvýše spočetná.

Každá konečná grupa, která má prvočíselný počet prvků, je cyklická. Plyne to z Lagrangeovy věty.

Každá cyklická grupa je automaticky Abelova, neboť všechny celé mocniny generátoru komutují. Toto a že je vůbec lze zavést je důsledkem pravidla asociativity, které platí v každé grupě.

Pokud dvě cyklické grupy mají stejný počet prvků, pak jsou již izomorfní, neboť stačí zobrazit generátor jedné grupy na generátor druhé.

Příklady cyklických grup

Každá grupa

$(\mathbb {Z} _{n},+,-,0)$,

kde operace +, - jsou brány modulo n, je cyklická.

Reprezentativním příkladem nekonečné cyklické grupy je grupa celých čísel se sčítáním

$(\mathbb {Z} ,+,-,0)$.

Tato grupa má dva generátory, 1 nebo -1. Všechny nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní grupě celých čísel.

Grupy rotací pravidelných n-mnohoúhelníků s operací skládání zobrazení jsou izomorfní s $\mathbb {Z} _{n}(+)$.

Všechny komplexní n-té odmocniny z jedné s operací násobení tvoří cyklickou grupu řádu n.

Mezi významné cyklické grupy patří grupy jednotek v některých okruzích (tyto grupy jsou grupami vzhledem k násobení, ne ke sčítání).

Reprezentace

Konečná cyklická grupa řádu n je izomorfní aditivní grupě zbytkových tříd $\mathbb {Z} _{n}(+)$.

Nekonečná cyklická grupa je izomorfní aditivní grupě celých čísel $\mathbb {Z} (+)$.

Věty o cyklických grupách

• Každá konečná podgrupa multiplikativní grupy libovolného tělesa je cyklická. Jednoduchý důkaz vychází z vlastností Eulerovy funkce a ze skutečnosti, že polynom nad komutativním tělesem nemůže mít více kořenů, než je jeho stupeň.

• Každá konečná cyklická grupa řádu n má právě $\varphi (n)$ různých generátorů, kde $\varphi (n)$ je Eulerova funkce.

• Všechny aditivní grupy $(\mathbb {Z} _{n},+,-,0)$ jsou cyklické. Naproti tomu multiplikativní grupy jednotek $(\mathbb {Z} _{n}^{*},*,^{-1},1)$ jsou cyklické jen v následujících případech: $n=2,n=4,n=p^{k},n=2p^{k}$, p liché prvočíslo a k přirozené číslo.

Odkazy

Literatura

• Drápal, A.: Úvod do teorie grup
• Koblitz, N.: A Short Course in Cryptography and Number Theory