Collatzův problém

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Collatzův fraktál, který vznikne rozšířením Collatzovy funkce do spojité komplexní roviny.

Collatzův problém je v matematice domněnka, kterou vyslovil Lothar Collatz. Tento problém je rovněž známý pod názvy 3n + 1 problém, Ulamův problém (podle Stanisława Ulama), Kakutanův problém (podle Šizua Kakutaniho), Thwaitův problém (podle sira Bryana Thwaitese), Hassův algoritmus (podle Helmuta Hasseho) nebo také jako Syrakuský problém[1][pozn. 1]. Posloupnost takto zkoumaných čísel se někdy nazývá též jako posloupnost ledové kroupy (protože hodnota čísel v posloupnosti často mnohokrát klesne a opět se zvýší, podobně jako ledové kroupy mění svoji výšku, když dochází k jejich tvorbě v oblacích)[3][4].

Domněnka může být shrnuta následovně. Vezmi jakékoliv kladné celé číslo n. Pokud je n sudé číslo, vyděl jej dvěma, a získej tak n / 2. Pokud je n liché číslo, vynásob jej třemi, přičti jedničku, a získej tak 3n + 1. Tento postup (v angličtině nazývaný také „Half Or Triple Plus One“ nebo HOTPO[5]) opakuj donekonečna. Domněnka je taková, že nezáleží na tom, jaké počáteční číslo n je zvoleno − výsledná posloupnost vždy nakonec dojde k číslu 1.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Popsaný postup lze vyjádřit funkcí

Hodnota pro lichá bude zjevně sudá. Často se tak používá zkrácená varianta a notace modulární aritmetiky

Problém pak lze popsat pomocí iterací těchto funkcí: Je pro libovolné počáteční kladné celé číslo některá iterace rovna jedné?

Domněnka zatím nebyla dokázána. Byla ale výpočetně ověřena pro všechna čísla až do velikosti cca .

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Orbita pro má 111 kroků (41 skrze lichá čísla) a vypadá následovně. Iterace vystoupaly z čísla 27 až na 9232, přesto se nakonec vrátily k číslu 1.

27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 (Posloupnost A008884 v databázi On-Line Encyclopedia of Integer Sequences)
Collatz5.svg

Heuristický argument[editovat | editovat zdroj]

Heuristický argument[6] napovídá, že iterace Collatzovy funkce by v dlouhodobém horizontu neměly růst k nekonečnu, ale měly by se naopak zmenšovat.

Pokud je vstup rovnoměrně rozložený modulo 2, nastávají obě větve stejně často.

Snadno lze ověřit, že jednotlivé iterace funkce se chovají náhodně a nezávisle od iterací minulých. Přesněji, je-li rovnoměrně rozložené modulo 4, pak je rovnoměrně rozložené modulo 2. Pro náhodný vstup tedy nastanou obě větve následující iterace se stejnou pravděpodobností.

Díky tomu lze uvažovat následovně. Pro dostatečně náhodný vstup bude výstup jedné iterace zhruba v první polovině případů a ve druhé polovině případů. Tedy oba případy mají pravděpodobnost 1/2. Přírůstek jedné iterace v lze tedy vyjádřit jako

.

A protože přírůstek je záporný, lze očekávat, že iterace se budou v dlouhodobém horizontu zmenšovat.

Empirická data[editovat | editovat zdroj]

Následující tabulka ukazuje maximální a průměrné délky trajektorií před dosažením jedničky pro počáteční hodnoty do dané velikosti. U maximální délky je uvedena také odpovídající počáteční hodnota.

hodnoty pod maximální délka počáteční hodnota průměrná délka

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Collatz conjecture na anglické Wikipedii.

Poznámky[editovat | editovat zdroj]

  1. Název „Syrakuský problém“ navrhl Hasse v 50. letech 20. století při návštěvě na Syracuse University.[2]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. MADDUX, Cleborne D.; JOHNSON, D. LAMONT. Logo: A Retrospective. New York: Haworth Press, 1997. ISBN 0-7890-0374-0. S. 160. (anglicky) 
  2. LAGARIAS, Jeffrey C. The 3x + 1 problem and its generalizations. The American Mathematical Monthly. 1985, s. 3–23. (anglicky) 
  3. PICKOVER, Clifford A. Wonders of Numbers. Oxford: Oxford University Press, 2001. ISBN 0-19-513342-0. S. 116–118. (anglicky) 
  4. Hailstone Number [online]. Wolfram Research. Dostupné online. (anglicky) 
  5. FRIENDLY, Michael. Advanced Logo: A Language for Learning. Hillsdale NJ: Lawrence Erlbaum Associates, 1988. ISBN 0-89859-933-4. (anglicky) 
  6. https://terrytao.wordpress.com/2011/08/25/the-collatz-conjecture-littlewood-offord-theory-and-powers-of-2-and-3/

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • The Ultimate Challenge: The Problem. Příprava vydání Jeffrey C. Lagarias. [s.l.]: American Mathematical Society, 2010. ISBN 978-0-8218-4940-8. 

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]