Přeskočit na obsah

Cikcak lemma

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Cikcak lemma v matematice, zvláště v homologické algebře, postuluje existenci určité dlouhé exaktní posloupnosti v grupách homologií určitých řetězcových komplexů. Výsledek platí v každé Abelova kategorie.

V abelovské kategorii (např. v kategorii abelovských grup nebo v kategorii vektorových prostorů nad daným tělesem), nechť a jsou řetězcové komplexy, které vyhovují následující krátké exaktní posloupnosti:

Tato posloupnost je zkratkou následujícího komutativního diagramu:

Komutativním digramem Reprezentace krátké exaktní posloupnosti řetězcových komplexů

kde řádky jsou exaktní posloupnosti a každý sloupec je řetězcový komplex.

Cikcak lemma říká, že existuje kolekce hraničních zobrazení

díky níž je následující posloupnost exaktní:

Dlouhá exaktní posloupnost v homologii, je-li dána by cikcak lemmatem

Zobrazení a jsou obvyklá zobrazení indukovaná homologií. Hraniční zobrazení jsou vysvětlený níže. Jméno lemmatu vychází z „cikcak“ chování zobrazení v posloupnosti. Jiná verze cikcak lemmatu je známa jako „hadí lemma“ (ta vytahuje podstatu důkazu cikcak lemmatu uvedeného níže).

Konstrukce hraničních zobrazení

[editovat | editovat zdroj]

Zobrazení jsou definovány pomocí standardních argumentů diagramatického nahánění. Nechť reprezentuje třída v , tak . Z exaktnosti řádku vyplývá, že je surjektivní, takže musí existovat nějaké s . Díky komutativitě digramu

z exaktnosti

Díky tomu, protože je injektivní, existuje jediný prvek takový, že . To je cyklus, protože je injektivní a

protože . Tj. . To znamená, že je cyklus, který reprezentuje nějakou třídu v . Nyní můžeme definovat

Jsou-li definována hraniční zobrazení, můžeme ukázat, že jsou dobře definovaná (tj. nezávislá na volbě c a b). Důkaz používá podobné argumenty při diagramatickém nahánění jako výše. Tyto argumenty se také používají, pro důkaz, že posloupnost v homologii je exaktní na každé grupě.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Zig-zag lemma na anglické Wikipedii.

Související články

[editovat | editovat zdroj]