Cikcak lemma
Cikcak lemma v matematice, zvláště v homologické algebře, postuluje existenci určité dlouhé exaktní posloupnosti v grupách homologií určitých řetězcových komplexů. Výsledek platí v každé Abelova kategorie.
Tvrzení
[editovat | editovat zdroj]V abelovské kategorii (např. v kategorii abelovských grup nebo v kategorii vektorových prostorů nad daným tělesem), nechť a jsou řetězcové komplexy, které vyhovují následující krátké exaktní posloupnosti:
Tato posloupnost je zkratkou následujícího komutativního diagramu:
kde řádky jsou exaktní posloupnosti a každý sloupec je řetězcový komplex.
Cikcak lemma říká, že existuje kolekce hraničních zobrazení
díky níž je následující posloupnost exaktní:
Zobrazení a jsou obvyklá zobrazení indukovaná homologií. Hraniční zobrazení jsou vysvětlený níže. Jméno lemmatu vychází z „cikcak“ chování zobrazení v posloupnosti. Jiná verze cikcak lemmatu je známa jako „hadí lemma“ (ta vytahuje podstatu důkazu cikcak lemmatu uvedeného níže).
Konstrukce hraničních zobrazení
[editovat | editovat zdroj]Zobrazení jsou definovány pomocí standardních argumentů diagramatického nahánění. Nechť reprezentuje třída v , tak . Z exaktnosti řádku vyplývá, že je surjektivní, takže musí existovat nějaké s . Díky komutativitě digramu
z exaktnosti
Díky tomu, protože je injektivní, existuje jediný prvek takový, že . To je cyklus, protože je injektivní a
protože . Tj. . To znamená, že je cyklus, který reprezentuje nějakou třídu v . Nyní můžeme definovat
Jsou-li definována hraniční zobrazení, můžeme ukázat, že jsou dobře definovaná (tj. nezávislá na volbě c a b). Důkaz používá podobné argumenty při diagramatickém nahánění jako výše. Tyto argumenty se také používají, pro důkaz, že posloupnost v homologii je exaktní na každé grupě.
Odkazy
[editovat | editovat zdroj]Reference
[editovat | editovat zdroj]V tomto článku byl použit překlad textu z článku Zig-zag lemma na anglické Wikipedii.
- HATCHER, Allen, 2002. Algebraic Topology. [s.l.]: Cambridge University Press. Dostupné online. ISBN 0-521-79540-0.
- LANG, Serge, 2002. Algebra. 3., revidované vyd. Svazek 211. New York: Springer-Verlag. (Graduate Texts in Mathematics). ISBN 978-0-387-95385-4.
- MUNKRES, James R., 1993. Elements of Algebraic Topology. New York: Westview Press. ISBN 0-201-62728-0.